ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Определите промежутки монотонности функции:

а) $y = 4 — 3\sqrt{x — 5}$;

б) $y = \sqrt{x + 1} + \sqrt{2x — 3}$;

в) $y = -3 + 5\sqrt{2 — x}$;

г) $y = \sqrt{1 — x} + \sqrt{3 — 4x}$

а) $y = 4 — 3\sqrt{x — 5}$;

Выражение имеет смысл при:
$x — 5 \geq 0 \quad => \quad x \geq 5;$
$k = 1 > 0 \quad — \text{функция убывает};$
$a = -3 < 0$

Ответ: убывает на $[5; +\infty)$.

б) $y = \sqrt{x + 1} + \sqrt{2x — 3}$;

1. $f(x) = \sqrt{x + 1}$;
   $k = 1 > 0 \quad — \text{функция возрастает};$
2. $g(x) = \sqrt{2x — 3}$;
   $k = 2 > 0 \quad — \text{функция возрастает};$
3. Выражение имеет смысл при:
   $x + 1 \geq 0 \quad => \quad x \geq -1;$
   $2x — 3 \geq 0 \quad => \quad x \geq 1,5;$

Ответ: возрастает на $[1,5; +\infty)$.

в) $y = -3 + 5\sqrt{2 — x}$;

Выражение имеет смысл при:
$2 — x \geq 0 \quad => \quad x \leq 2;$
$k = -1 < 0 \quad — \text{функция убывает};$
$a = 5 > 0$

Ответ: убывает на $(-∞; 2]$.

г) $y = \sqrt{1 — x} + \sqrt{3 — 4x}$;

1. $f(x) = \sqrt{1 — x}$;
   $k = -1 < 0 \quad — \text{функция убывает};$
2. $g(x) = \sqrt{3 — 4x}$;
   $k = -4 < 0 \quad — \text{функция убывает};$
3. Выражение имеет смысл при:
   $1 — x \geq 0 \quad => \quad x \leq 1;$
   $3 — 4x \geq 0 \quad => \quad x \leq 0,75;$

Ответ: убывает на $(-∞; 0,75]$.

а) $y = 4 — 3\sqrt{x — 5}$

1. Выражение имеет смысл при $x — 5 \geq 0$

Для того чтобы выражение под квадратным корнем $\sqrt{x — 5}$ было определено, необходимо, чтобы $x — 5 \geq 0$, так как квадратный корень из отрицательного числа не существует в области действительных чисел.

Решим неравенство:

$$x — 5 \geq 0$$ $$x \geq 5$$

Таким образом, выражение имеет смысл при $x \geq 5$.

2. Исследуем поведение функции

Функция $y = 4 — 3\sqrt{x — 5}$ является функцией с корнем. Чтобы понять её поведение, нужно определить знак производной.

Найдем производную функции $y = 4 — 3\sqrt{x — 5}$:

$$\frac{d}{dx}\left( 4 — 3\sqrt{x — 5} \right) = \frac{d}{dx} \left( 4 \right) — 3 \cdot \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x — 5} \right)$$ $$= 0 — 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x — 5}} \cdot 1 = — \frac{3}{2\sqrt{x — 5}}$$

Поскольку $\sqrt{x — 5} \geq 0$ при $x \geq 5$, то выражение $— \frac{3}{2\sqrt{x — 5}}$ всегда отрицательно для $x \geq 5$. Это означает, что функция убывает на интервале $[5; +\infty)$.

Ответ:

Функция убывает на $[5; +\infty)$.

б) $y = \sqrt{x + 1} + \sqrt{2x — 3}$

1. Исследуем каждый элемент функции:

1.1. $f(x) = \sqrt{x + 1}$

Для того чтобы выражение под корнем $x + 1$ было положительным или нулевым, необходимо:

$$x + 1 \geq 0$$ $$x \geq -1$$

Таким образом, функция $f(x) = \sqrt{x + 1}$ определена при $x \geq -1$.

Чтобы понять, возрастает ли эта функция, найдем её производную:

$$\frac{d}{dx} \left( \sqrt{x + 1} \right) = \frac{1}{2\sqrt{x + 1}}$$

Так как $\sqrt{x + 1} \geq 0$ при $x \geq -1$, то производная всегда положительна на этом интервале. Следовательно, функция $f(x) = \sqrt{x + 1}$ возрастает на $[-1; +\infty)$.

1.2. $g(x) = \sqrt{2x — 3}$

Для того чтобы выражение $2x — 3$ было положительным или нулевым, необходимо:

$$2x — 3 \geq 0$$ $$x \geq 1,5$$

Таким образом, функция $g(x) = \sqrt{2x — 3}$ определена при $x \geq 1,5$.

Теперь найдем производную функции $g(x)$:

$$\frac{d}{dx} \left( \sqrt{2x — 3} \right) = \frac{1}{2\sqrt{2x — 3}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x — 3}}$$

Так как $\sqrt{2x — 3} \geq 0$ при $x \geq 1,5$, то производная всегда положительна на этом интервале. Следовательно, функция $g(x) = \sqrt{2x — 3}$ возрастает на $[1,5; +\infty)$.

2. Совмещение условий

Функция $y = \sqrt{x + 1} + \sqrt{2x — 3}$ будет определена, если оба подкоренных выражения положительны или равны нулю:

$$x + 1 \geq 0 \quad \text{и} \quad 2x — 3 \geq 0$$

То есть:

$$x \geq -1 \quad \text{и} \quad x \geq 1,5$$

Наименьшее значение, при котором оба условия выполняются, это $x \geq 1,5$.

3. Поведение функции на $[1,5; +\infty)$

Поскольку обе компоненты функции $\sqrt{x + 1}$ и $\sqrt{2x — 3}$ возрастают на интервале $[1,5; +\infty)$, то и вся функция $y = \sqrt{x + 1} + \sqrt{2x — 3}$ будет возрастать на этом интервале.

Ответ:

Функция возрастает на $[1,5; +\infty)$.

в) $y = -3 + 5\sqrt{2 — x}$

1. Выражение имеет смысл при $2 — x \geq 0$

Для того чтобы выражение под корнем $\sqrt{2 — x}$ было определено, необходимо:

$$2 — x \geq 0$$ $$x \leq 2$$

Таким образом, выражение имеет смысл при $x \leq 2$.

2. Исследуем поведение функции

Найдем производную функции $y = -3 + 5\sqrt{2 — x}$:

$$\frac{d}{dx}\left( -3 + 5\sqrt{2 — x} \right) = 0 — 5 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2 — x}} \cdot (-1)$$ $$= \frac{5}{2\sqrt{2 — x}}$$

Поскольку $\sqrt{2 — x} \geq 0$ для $x \leq 2$, то производная всегда положительна для $x \leq 2$, что означает, что функция возрастает на интервале $(-\infty; 2]$.

Ответ:

Функция возрастает на $(-\infty; 2]$.

г) $y = \sqrt{1 — x} + \sqrt{3 — 4x}$

1. Исследуем каждый элемент функции:

1.1. $f(x) = \sqrt{1 — x}$

Для того чтобы выражение под корнем $1 — x$ было положительным или нулевым, необходимо:

$$1 — x \geq 0$$ $$x \leq 1$$

Таким образом, функция $f(x) = \sqrt{1 — x}$ определена при $x \leq 1$.

Найдем производную:

$$\frac{d}{dx} \left( \sqrt{1 — x} \right) = \frac{-1}{2\sqrt{1 — x}}$$

Поскольку $\sqrt{1 — x} \geq 0$ при $x \leq 1$, то производная всегда отрицательна на этом интервале, что означает, что функция убывает на $(-\infty; 1]$.

1.2. $g(x) = \sqrt{3 — 4x}$

Для того чтобы выражение под корнем $3 — 4x$ было положительным или нулевым, необходимо:

$$3 — 4x \geq 0$$ $$x \leq \frac{3}{4}$$

Таким образом, функция $g(x) = \sqrt{3 — 4x}$ определена при $x \leq \frac{3}{4}$.

Найдем производную:

$$\frac{d}{dx} \left( \sqrt{3 — 4x} \right) = \frac{-4}{2\sqrt{3 — 4x}} = \frac{-2}{\sqrt{3 — 4x}}$$

Поскольку $\sqrt{3 — 4x} \geq 0$ при $x \leq \frac{3}{4}$, то производная всегда отрицательна на этом интервале, что означает, что функция убывает на $(-\infty; \frac{3}{4}]$.

2. Совмещение условий

Функция $y = \sqrt{1 — x} + \sqrt{3 — 4x}$ будет определена, если оба подкоренных выражения положительны или равны нулю:

$$1 — x \geq 0 \quad \text{и} \quad 3 — 4x \geq 0$$

То есть:

$$x \leq 1 \quad \text{и} \quad x \leq \frac{3}{4}$$

Наименьшее значение, при котором оба условия выполняются, это $x \leq \frac{3}{4}$.

3. Поведение функции на $(-\mathrm{\infty };$$0,75$$(-\infty; \frac{3}{4}]$

Поскольку обе компоненты функции $\sqrt{1 — x}$ и $\sqrt{3 — 4x}$ убывают на интервале $(-\infty; \frac{3}{4}]$, то и вся функция $y = \sqrt{1 — x} + \sqrt{3 — 4x}$ будет убывать на этом интервале.

Ответ:

Функция убывает на