ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.40 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что функция является четной:

$$y=\{\begin{array}{ll}{x}^4-2x^2+\frac{17}{x+1},& \text{если }x<0\text{ и }x\mathrm{\ne }-1\\ x^4-2x^2+\frac{17}{1-x},& \text{если }x>0\text{ и }x\mathrm{\ne }1\end{array}$$

Доказать, что функция является четной:

$$y = \begin{cases} x^4 — 2x^2 + \frac{17}{x+1}, & \text{если } x < 0 \text{ и } x \neq -1 \\ x^4 — 2x^2 + \frac{17}{1-x}, & \text{если } x > 0 \text{ и } x \neq 1 \end{cases};$$

Если $x < 0$ и $x \neq -1$, тогда:

$$(-x) > 0 \text{ и } (-x) \neq 1;$$ $$y(-x) = (-x)^4 — 2(-x)^2 + \frac{17}{-x+1};$$ $$y(-x) = x^4 — 2x^2 + \frac{17}{1-x} = y(x), \text{где } x > 0;$$

Если $x > 0$ и $x \neq 1$, тогда:

$$(-x) < 0 \text{ и } (-x) \neq -1;$$ $$y(-x) = (-x)^4 — 2(-x)^2 + \frac{17}{1-(-x)};$$ $$y(-x) = x^4 — 2x^2 + \frac{17}{x+1} = y(x), \text{где } x < 0;$$

Таким образом, данная функция является четной, что и требовалось доказать.

Доказать, что функция является четной:

$$y = \begin{cases} x^4 — 2x^2 + \frac{17}{x+1}, & \text{если } x < 0 \text{ и } x \neq -1 \\ x^4 — 2x^2 + \frac{17}{1-x}, & \text{если } x > 0 \text{ и } x \neq 1 \end{cases};$$

Шаг 1: Определение четности функции

Функция называется четной, если для всех $x$ из области определения выполняется условие:

$$f(-x) = f(x)$$

То есть, значение функции в точке $-x$ должно быть равно значению функции в точке $x$.

В данном случае, наша функция $y(x)$ имеет вид:

$$y(x) = \begin{cases} x^4 — 2x^2 + \frac{17}{x+1}, & \text{если } x < 0 \text{ и } x \neq -1 \\ x^4 — 2x^2 + \frac{17}{1-x}, & \text{если } x > 0 \text{ и } x \neq 1 \end{cases};$$

Наша цель — доказать, что для каждого значения $x$, функция удовлетворяет условию $y(-x) = y(x)$, при этом важно, чтобы оба случая функции были учтены.

Шаг 2: Рассмотрим случай $x < 0$ и $x \neq -1$

Если $x < 0$, то для функции $y(x)$ используется первая ветвь:

$$y(x) = x^4 — 2x^2 + \frac{17}{x+1}.$$

Нам нужно доказать, что $y(-x) = y(x)$ для $x < 0$.

Так как $x < 0$, то $-x > 0$, и подставим $-x$ в функцию. В этом случае используется вторая ветвь, так как $-x > 0$, а также $-x \neq 1$:

$$y(-x) = (-x)^4 — 2(-x)^2 + \frac{17}{1 — (-x)}.$$

Преобразуем выражение:

$$y(-x) = x^4 — 2x^2 + \frac{17}{1 + x}.$$

Теперь сравним $y(-x)$ с $y(x)$. Напоминаем, что для $x < 0$, функция $y(x)$ имеет вид:

$$y(x) = x^4 — 2x^2 + \frac{17}{x+1}.$$

Сравнив оба выражения, видим, что:

$$y(-x) = x^4 — 2x^2 + \frac{17}{1+x} = y(x), \text{где } x < 0.$$

Таким образом, для $x < 0$, выполняется условие четности $y(-x) = y(x)$.

Шаг 3: Рассмотрим случай $x > 0$ и $x \neq 1$

Теперь рассмотрим случай, когда $x > 0$ и $x \neq 1$. В этом случае для функции $y(x)$ используется вторая ветвь:

$$y(x) = x^4 — 2x^2 + \frac{17}{1-x}.$$

Нам нужно доказать, что $y(-x) = y(x)$ для $x > 0$.

Так как $x > 0$, то $-x < 0$, и подставим $-x$ в функцию. В этом случае используется первая ветвь, так как $-x < 0$, а также $-x \neq -1$:

$$y(-x) = (-x)^4 — 2(-x)^2 + \frac{17}{-x+1}.$$

Преобразуем выражение:

$$y(-x) = x^4 — 2x^2 + \frac{17}{1 — x}.$$

Теперь сравним $y(-x)$ с $y(x)$. Напоминаем, что для $x > 0$, функция $y(x)$ имеет вид:

$$y(x) = x^4 — 2x^2 + \frac{17}{1-x}.$$

Сравнив оба выражения, видим, что:

$$y(-x) = x^4 — 2x^2 + \frac{17}{1-x} = y(x), \text{где } x > 0.$$

Таким образом, для $x > 0$, также выполняется условие четности $y(-x) = y(x)$.

Шаг 4: Заключение

Мы рассмотрели оба случая функции и доказали, что для всех значений $x$, функция $y(x)$ удовлетворяет условию четности:

$$y(-x) = y(x).$$

Следовательно, функция $y(x)$ является четной.