ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.41 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите такое выражение для $f(x)$, чтобы функция была нечетной:

$$y=\{\begin{array}{ll}f(x),& \text{если }x<0\\ {\displaystyle \frac{x^2-19x}{x^3+7}},& \text{если }x\ge 0\end{array}$$

Найти такое выражение для $f(x)$, чтобы функция была нечетной:

$$y = \begin{cases} f(x), & \text{если } x < 0 \\ \dfrac{x^2 — 19x}{x^3 + 7}, & \text{если } x \geq 0 \end{cases};$$

Если $x > 0$, тогда $(-x) < 0$, значит:

$$y(-x) = -f(x), \text{ где } x < 0;$$ $$y(-x) = \dfrac{(-x)^2 — 19 \cdot (-x)}{(-x)^3 + 7} = \dfrac{x^2 + 19x}{-x^3 + 7};$$ $$f(x) = -y(-x) = -\dfrac{x^2 + 19x}{-x^3 + 7} = \dfrac{x^2 + 19x}{x^3 — 7};$$

Ответ: $f(x) = \dfrac{x^2 + 19x}{x^3 — 7}$.

Необходимо найти такое выражение для функции $f(x)$, чтобы она была нечетной. При этом, дана функция $y$, которая определяется разными выражениями в зависимости от значения $x$:

$$y = \begin{cases} f(x), & \text{если } x < 0 \\ \dfrac{x^2 — 19x}{x^3 + 7}, & \text{если } x \geq 0 \end{cases};$$

Определение нечетной функции:

Функция $f(x)$ называется нечетной, если выполняется условие:

$$f(-x) = -f(x) \quad \text{для всех } x.$$

Для того, чтобы функция была нечетной, необходимо, чтобы её поведение для $x > 0$ и $x < 0$ соответствовало этому условию.

Шаг 1. Используем значение функции для $x \geq 0$

Из условия задачи известно, что для $x \geq 0$, функция $y$ определяется выражением:

$$y = \frac{x^2 — 19x}{x^3 + 7}.$$

Таким образом, для $x \geq 0$:

$$y = \frac{x^2 — 19x}{x^3 + 7}.$$

Здесь мы видим, что выражение для $y$ в положительной части функции уже дано.

Шаг 2. Используем условие, что функция должна быть нечетной

Нам нужно найти такое выражение для функции $f(x)$, чтобы выполнялось условие нечетности: $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$.

Пусть $x > 0$, тогда $-x < 0$. Таким образом, для $x > 0$ мы можем выразить $f(-x)$ через $f(x)$ с помощью условия нечетности. То есть:

$$f(-x) = -f(x).$$

Поскольку нам необходимо выразить $f(-x)$, то нужно воспользоваться тем, что $y$ при $x < 0$ будет равно $f(x)$. Теперь найдем $y(-x)$, подставив $-x$ в выражение для $y$ при $x \geq 0$.

Шаг 3. Находим $y(-x)$

Теперь вычислим $y(-x)$ для $x > 0$ (то есть, подставляем $-x$ в выражение для функции при $x \geq 0$):

$$y(-x) = \frac{(-x)^2 — 19(-x)}{(-x)^3 + 7} = \frac{x^2 + 19x}{-x^3 + 7}.$$

Здесь мы использовали то, что $(-x)^2 = x^2$, $-19(-x) = 19x$, и $(-x)^3 = -x^3$.

Шаг 4. Найдем $f(x)$

Теперь, по определению нечетной функции, мы знаем, что:

$$f(x) = -y(-x).$$

Подставляем выражение для $y(-x)$:

$$f(x) = — \left( \frac{x^2 + 19x}{-x^3 + 7} \right) = \frac{x^2 + 19x}{x^3 — 7}.$$

Шаг 5. Ответ

Таким образом, мы нашли выражение для функции $f(x)$, которое делает её нечетной. Ответ:

$$f(x) = \frac{x^2 + 19x}{x^3 — 7}.$$

Это и есть требуемое выражение для функции $f(x)$, которая будет нечетной.

Итог:

1. Мы рассмотрели условие задачи, которое включало функцию, заданную для разных значений $x$.
2. Мы использовали определение нечетной функции, чтобы выразить $f(x)$ для $x > 0$.
3. Мы вычислили $y(-x)$ для $x > 0$ и использовали его, чтобы найти выражение для $f(x)$.
4. Результатом является функция $f(x) = \frac{x^2 + 19x}{x^3 — 7}$, которая является нечетной.