ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.42 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите такое выражение для $h(x)$, чтобы функция была четной:

$$y=\{\begin{array}{ll}{x}^2-\sqrt{3-x},& \text{если }x<0\\ h(x),& \text{если }x\ge 0\end{array}$$

Найти такое выражение для $h(x)$, чтобы функция была четной:

$$y = \begin{cases} x^2 — \sqrt{3 — x}, & \text{если } x < 0; \\ h(x), & \text{если } x \geq 0 \end{cases}$$

Если $x < 0$, тогда $(-x) > 0$, значит:

$$y(-x) = h(x), \text{ где } x > 0;$$ $$h(x) = y(-x) = (-x)^2 — \sqrt{3 — (-x)} = x^2 — \sqrt{3 + x};$$

Ответ: $h(x) = x^2 — \sqrt{3 + x}$.

Функция $y$ имеет вид:

$$y = \begin{cases} x^2 — \sqrt{3 — x}, & \text{если } x < 0; \\ h(x), & \text{если } x \geq 0 \end{cases}$$

Нужно найти выражение для функции $h(x)$, чтобы вся функция $y$ была четной.

Шаг 1. Напомнить определение четной функции

Функция называется четной, если она удовлетворяет следующему условию:

$$y(-x) = y(x), \quad \forall x \in \mathbb{R}.$$

То есть, значение функции при $x$ должно быть равно значению функции при $-x$ для всех значений $x$. Это основное условие, которое мы будем использовать.

Шаг 2. Разбор функции для $x < 0$

Из условия задачи мы знаем, что для $x < 0$ функция $y$ представлена как:

$$y = x^2 — \sqrt{3 — x}.$$

Однако нас интересует выражение для $y(-x)$, которое будет для $x > 0$.

Шаг 3. Выражение для $y(-x)$

Если $x < 0$, то $-x > 0$. То есть мы можем рассматривать функцию для $-x$ как выражение для $x > 0$. Подставим $-x$ вместо $x$ в формулу для $y$:

$$y(-x) = (-x)^2 — \sqrt{3 — (-x)}.$$

Рассмотрим этот результат:

1. $(-x)^2 = x^2$, так как квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного.
2. $\sqrt{3 — (-x)} = \sqrt{3 + x}$, так как минус перед минусом дает плюс.

Итак, получаем:

$$y(-x) = x^2 — \sqrt{3 + x}.$$

Это и есть выражение для $y(-x)$ при $x > 0$.

Шаг 4. Найдем выражение для $h(x)$

Теперь, чтобы функция $y$ была четной, для $x > 0$ должно выполняться равенство:

$$y(-x) = h(x).$$

Из предыдущего шага мы нашли, что $y(-x) = x^2 — \sqrt{3 + x}$. Следовательно, для $x > 0$ должно быть:

$$h(x) = x^2 — \sqrt{3 + x}.$$

Шаг 5. Проверка четности функции

Теперь проверим, что наша функция $y$ действительно четная. Для этого нужно убедиться, что $y(-x) = y(x)$ для всех $x$.

Для $x < 0$ мы имеем:

$$y(x) = x^2 — \sqrt{3 — x}.$$

Для $x > 0$ мы имеем:

$$y(-x) = x^2 — \sqrt{3 + x}.$$

Таким образом, для $x > 0$, $y(-x)$ совпадает с $h(x)$, и для $x < 0$ мы по определению имеем значение $y(x)$. Это подтверждает, что функция $y$ четная, так как:

$$y(-x) = y(x) \quad \text{для всех } x.$$

Ответ:

Таким образом, мы нашли выражение для $h(x)$:

$$h(x) = x^2 — \sqrt{3 + x}.$$

Это и есть нужное выражение для того, чтобы функция $y$ была четной.