ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.43 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть функция $y = f(x)$ определена в точке 0. Докажите, что если $y = f(x)$ — нечетная функция, то $f(0) = 0$.

Пусть функция $y = f(x)$ определена в точке 0;

Доказать, что если $y = f(x)$ — нечетная функция, то $f(0) = 0$;

1. Допустим, что $f(0) \neq 0$, тогда $f(0) = a$, то есть график функции пересекает ось $Oy$ в точке $(0; a)$;
2. График нечетной функции симметричен относительно точки начала координат, значит он также проходит и через точку $(0; -a)$;
3. Возникло противоречие:

$$f(0) = a \quad \text{и} \quad f(0) = -a;$$ $$a = -a;$$

Следовательно $f(0) = 0$, что и требовалось доказать.

Функция $y = f(x)$ определена в точке $x = 0$, и необходимо доказать, что если функция $f(x)$ является нечетной, то $f(0) = 0$.

Шаг 1. Напоминаем определение нечетной функции

Функция называется нечетной, если она удовлетворяет следующему условию для всех $x$:

$$f(-x) = -f(x), \quad \forall x \in \mathbb{R}.$$

Это означает, что график функции симметричен относительно начала координат: если точка $(x, y)$ лежит на графике, то точка $(-x, -y)$ также будет на графике функции.

Шаг 2. Допущение, что $f(0) \neq 0$

Мы начинаем доказательство с допущения, что $f(0) \neq 0$. Пусть:

$$f(0) = a, \quad \text{где } a \neq 0.$$

Тогда график функции пересекает ось $Oy$ в точке $(0; a)$, то есть функция принимает значение $a$ в точке $x = 0$.

Шаг 3. Симметрия графика нечетной функции

По определению нечетной функции, её график симметричен относительно начала координат. Это означает, что если точка $(x, f(x))$ лежит на графике, то точка $(-x, -f(x))$ также будет лежать на графике.

Таким образом, для $x = 0$, должно выполняться следующее условие для функции $f(x)$:

$$f(-0) = -f(0).$$

Однако $-0 = 0$, поэтому получается:

$$f(0) = -f(0).$$

Шаг 4. Противоречие

Мы уже предположили, что $f(0) = a$, где $a \neq 0$. Теперь у нас есть два равенства:

$$f(0) = a \quad \text{и} \quad f(0) = -a.$$

Это приводит нас к противоречию, так как не может быть одновременно, чтобы $a = -a$, если $a \neq 0$. А равенство $a = -a$ возможно только в случае, если $a = 0$.

Шаг 5. Заключение

Поскольку мы пришли к противоречию, то наше начальное предположение, что $f(0) \neq 0$, должно быть неверным. Следовательно:

$$f(0) = 0.$$

Таким образом, мы доказали, что если функция $f(x)$ нечетная, то $f(0) = 0$.