ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.44 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть график нечетной функции $y = f(x)$ пересекает ось абсцисс в 33 точках. Докажите, что $f(0) = 0$.

Пусть график нечетной функции $y = f(x)$ пересекает ось абсцисс в 33 точках, нужно доказать, что $f(0) = 0$.

1. График функции пересекает ось абсцисс в точках с координатами $(a; 0)$, где $a$ — любое число;
2. График нечетной функции симметричен относительно точки начала координат, значит каждой точке $(a; 0)$ соответствует точка $(-a; 0)$;
3. Так как число 33 нечетное, то одно из чисел $a$ равно нулю, значит график проходит через точку $(0; 0)$, то есть $f(0) = 0$, что и требовалось доказать.

Пусть график нечетной функции $y = f(x)$ пересекает ось абсцисс в 33 точках. Нужно доказать, что $f(0) = 0$.

Что значит пересечение графика с осью абсцисс?

График функции пересекает ось абсцисс в тех точках, где значение функции $f(x) = 0$. Таким образом, пересечение графика функции с осью абсцисс происходит в точках с координатами $(a, 0)$, где $a$ — значения $x$, для которых выполняется равенство $f(a) = 0$.

Особенности нечетной функции:

График функции $y = f(x)$ называется нечетным, если для всех $x$ выполняется условие:

$$f(-x) = -f(x)$$

Это означает, что график функции симметричен относительно начала координат, т.е. если точка $(x, y)$ лежит на графике функции, то точка $(-x, -y)$ также лежит на графике.

В частности, для нечетной функции, если она пересекает ось абсцисс в какой-то точке $(a, 0)$, то точка $(-a, 0)$ также будет лежать на графике функции, потому что:

$$f(a) = 0 \quad \text{и} \quad f(-a) = -f(a) = -0 = 0$$

То есть, если функция пересекает ось абсцисс в точке $(a, 0)$, то она пересекает её и в точке $(-a, 0)$.

Число пересечений оси абсцисс:

В условии задачи указано, что график функции пересекает ось абсцисс в 33 точках. Эти точки имеют координаты вида $(a_1, 0), (a_2, 0), \dots, (a_{33}, 0)$.

Так как функция нечетная, то для каждой точки $(a_i, 0)$ существует симметричная точка $(-a_i, 0)$, которая также будет пересечением графика с осью абсцисс.

Анализ числа пересечений:

Поскольку $f(x)$ — нечетная функция, то для каждой положительной точки пересечения $a_i$ существует соответствующая точка $-a_i$ (где $a_i > 0$).

Если бы число точек пересечения было чётным, то все точки пересечений можно было бы разбить на пары $(a_i, 0)$ и $(-a_i, 0)$. Однако в данном случае число точек пересечения равно 33, что является нечётным числом.

Поскольку количество точек пересечения нечётное, то обязательно должна существовать точка, для которой $a = 0$. Это означает, что одна из точек пересечения с осью абсцисс имеет координаты $(0, 0)$.

Заключение:

Таким образом, так как количество точек пересечения графика с осью абсцисс нечётное, то среди этих точек обязательно должна быть точка $(0, 0)$. Это означает, что:

$$f(0) = 0$$

что и требовалось доказать.