ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.45 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть график четной функции пересекает ось абсцисс в 333 точках. Докажите, что сумма и произведение абсцисс этих точек равны нулю.

Пусть график четной функции пересекает ось абсцисс в 333 точках.

1. График функции пересекает ось абсцисс в точках с координатами $(a; 0)$, где $a$ — любое число;
2. График четной функции симметричен относительно оси $Oy$, значит каждой точке $(a; 0)$ соответствует точка $(-a; 0)$;
3. Так как число 333 нечетное, то одно из чисел $a$ равно нулю, а также существует ровно по 166 — положительных и отрицательных чисел;
4. Сумма и произведение абсцисс этих точек:

$$S = a_1 + a_2 + \ldots + a_{166} + 0 — a_{166} — \ldots — a_2 — a_1 = 0;$$ $$D = a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{166} \cdot 0 \cdot (-a_{166}) \cdot \ldots \cdot (-a_2) \cdot (-a_1) = 0;$$

Ответ: сумма и произведение равны нулю.

Пусть график четной функции $y = f(x)$ пересекает ось абсцисс в 333 точках. Нужно доказать, что сумма и произведение абсцисс этих точек равны нулю.

Шаг 1. Что значит пересечение графика с осью абсцисс?

График функции пересекает ось абсцисс в тех точках, где $f(x) = 0$. Таким образом, если график функции пересекает ось абсцисс в точках, то для каждой такой точки выполняется равенство $f(a) = 0$, где $a$ — это абсцисса точки пересечения.

Шаг 2. Особенности четной функции

Функция называется четной, если она удовлетворяет условию:

$$f(-x) = f(x) \quad \text{для всех} \quad x.$$

Это означает, что график функции симметричен относительно оси $Oy$. То есть для каждой точки $(a, 0)$, которая лежит на графике, существует соответствующая точка $(-a, 0)$, которая также лежит на графике. Например, если график пересекает ось абсцисс в точке $(a, 0)$, то график пересекает ось абсцисс и в точке $(-a, 0)$.

Шаг 3. Учет числа точек пересечения

В задаче указано, что график функции пересекает ось абсцисс в 333 точках. Каждая точка пересечения будет иметь координаты вида $(a_i, 0)$, где $a_i$ — это абсцисса точки, а $i$ — порядковый номер точки.

Поскольку функция четная, для каждой точки $(a_i, 0)$ существует точка симметричная ей, то есть точка $(-a_i, 0)$. Таким образом, точки пересечений можно поделить на пары: одна пара $(a_i, 0)$ и $(-a_i, 0)$. Однако количество точек пересечения нечетное (333), что означает, что среди этих точек обязательно должна быть точка, где $a = 0$. То есть одна из точек пересечения будет $(0, 0)$.

Таким образом, среди 333 точек пересечения есть одна точка с абсциссой 0, а остальные точки образуют 166 пар $(a_i, 0)$ и $(-a_i, 0)$, где $a_i \neq 0$.

Шаг 4. Сумма абсцисс точек пересечения

Теперь нужно найти сумму абсцисс всех точек пересечения с осью абсцисс. Обозначим абсциссы точек пересечения как $a_1, a_2, \dots, a_{166}$, где $a_i \neq 0$.

Так как для каждой точки $(a_i, 0)$ существует точка $(-a_i, 0)$, то сумма абсцисс всех точек пересечения будет равна:

$$S = a_1 + a_2 + \dots + a_{166} + 0 — a_{166} — \dots — a_2 — a_1.$$

Поскольку каждое положительное число $a_i$ и его соответствующее отрицательное значение $-a_i$ взаимно уничтожаются, мы получаем:

$$S = 0.$$

Таким образом, сумма абсцисс точек пересечения равна нулю.

Шаг 5. Произведение абсцисс точек пересечения

Теперь рассмотрим произведение абсцисс всех точек пересечения графика с осью абсцисс. Мы уже знаем, что одна из точек пересечения имеет абсциссу 0, то есть одна из точек имеет координаты $(0, 0)$.

Произведение абсцисс всех точек пересечения будет:

$$D = a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_{166} \cdot 0 \cdot (-a_{166}) \cdot \dots \cdot (-a_2) \cdot (-a_1).$$

Так как одно из множителей равно 0 (это абсцисса точки $(0, 0)$), то произведение всех абсцисс равно 0. Таким образом:

$$D = 0.$$

Шаг 6. Заключение

Мы доказали, что:

• Сумма абсцисс точек пересечения графика с осью абсцисс равна $0$.
• Произведение абсцисс точек пересечения графика с осью абсцисс также равно $0$.

Ответ:

Сумма и произведение абсцисс точек пересечения равны нулю.