ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.46 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задана функция $y = f(x)$, которая определена на множестве $R$. Докажите , что:

а) Функция $y = f(x) + f(-x)$ является четной. Функция $y = f(x) — f(-x)$ является нечетной.

б) Функции $y = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$ и $y = \frac{f(x) — f(-x)}{2}$ обладают четностью и нечетностью соответственно. Сумма этих функций восстанавливает исходную функцию $y = f(x)$.

а) Пусть функция $y = f(x)$ определена на множестве $R$;

Функция $y = f(x) + f(-x)$ является четной:

$$y(-x) = f(-x) + f\bigl((-x)\bigr) = f(-x) + f(x) = y(x);$$

Функция $y = f(x) — f(-x)$ является нечетной:

$$y(-x) = f(-x) — f\bigl((-x)\bigr) = f(-x) — f(x) = -y(x);$$

Оба утверждения доказаны.

б) Пусть функция $y = f(x)$ определена на симметричном множестве;

Функция $y = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$ является четной:

$$y(-x) = \frac{f(-x) + f\bigl((-x)\bigr)}{2} = \frac{f(-x) + f(x)}{2} = y(x);$$

Функция $y = \frac{f(x) — f(-x)}{2}$ является нечетной:

$$y(-x) = \frac{f(-x) — f\bigl((-x)\bigr)}{2} = \frac{f(-x) — f(x)}{2} = -y(x);$$

Сумма четной и нечетной функции:

$$\frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) — f(-x)}{2} = \frac{2f(x)}{2} = f(x) = y;$$

Утверждение доказано.

а) Пусть функция $y = f(x)$ определена на множестве $R$:

Функция $y = f(x) + f(-x)$ является четной.

Чтобы доказать, что функция $y = f(x) + f(-x)$ является четной, нужно показать, что для любого $x$ выполняется условие:

$$y(-x) = y(x).$$

Рассмотрим $y(-x)$:

$$y(-x) = f(-x) + f(-(-x)) = f(-x) + f(x).$$

Видим, что $y(-x) = f(-x) + f(x)$, что в точности совпадает с выражением для $y(x)$, которое равно $f(x) + f(-x)$. Таким образом:

$$y(-x) = y(x),$$

что и требовалось доказать. Функция $y = f(x) + f(-x)$ является четной.

Функция $y = f(x) — f(-x)$ является нечетной.

Чтобы доказать, что функция $y = f(x) — f(-x)$ является нечетной, нужно показать, что для любого $x$ выполняется условие:

$$y(-x) = -y(x).$$

Рассмотрим $y(-x)$:

$$y(-x) = f(-x) — f(-(-x)) = f(-x) — f(x).$$

Видим, что $y(-x) = f(-x) — f(x)$. Теперь рассмотрим $-y(x)$:

$$-y(x) = -(f(x) — f(-x)) = -f(x) + f(-x) = f(-x) — f(x).$$

Мы видим, что $y(-x) = -y(x)$. Это означает, что функция $y = f(x) — f(-x)$ является нечетной.

Оба утверждения доказаны.

б) Пусть функция $y = f(x)$ определена на симметричном множестве (т.е. на множестве $R$, для которого определены значения функции как для положительных, так и для отрицательных аргументов).

Функция $y = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$ является четной.

Нужно доказать, что:

$$y(-x) = y(x).$$

Рассмотрим $y(-x)$:

$$y(-x) = \frac{f(-x) + f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) + f(x)}{2}.$$

Мы видим, что $y(-x) = \frac{f(-x) + f(x)}{2}$, что точно совпадает с выражением для $y(x)$, которое равно $\frac{f(x) + f(-x)}{2}$. Таким образом:

$$y(-x) = y(x),$$

что и требовалось доказать. Функция $y = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$ является четной.

Функция $y = \frac{f(x) — f(-x)}{2}$ является нечетной.

Нужно доказать, что:

$$y(-x) = -y(x).$$

Рассмотрим $y(-x)$:

$$y(-x) = \frac{f(-x) — f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) — f(x)}{2}.$$

Мы видим, что $y(-x) = \frac{f(-x) — f(x)}{2}$, а теперь рассмотрим $-y(x)$:

$$-y(x) = -\left( \frac{f(x) — f(-x)}{2} \right) = \frac{-f(x) + f(-x)}{2} = \frac{f(-x) — f(x)}{2}.$$

Мы видим, что $y(-x) = -y(x)$, что и требовалось доказать. Функция $y = \frac{f(x) — f(-x)}{2}$ является нечетной.

Сумма четной и нечетной функции восстанавливает исходную функцию $y = f(x)$.

Рассмотрим сумму четной функции $y = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$ и нечетной функции $y = \frac{f(x) — f(-x)}{2}$:

$$\frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) — f(-x)}{2} = \frac{f(x) + f(-x) + f(x) — f(-x)}{2}.$$

Видим, что выражение упрощается:

$$\frac{f(x) + f(-x) + f(x) — f(-x)}{2} = \frac{2f(x)}{2} = f(x).$$

Таким образом, сумма этих функций восстанавливает исходную функцию $y = f(x)$.

Ответ:

1. Функция $y = f(x) + f(-x)$ является четной.
2. Функция $y = f(x) — f(-x)$ является нечетной.
3. Функция $y = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$ является четной.
4. Функция $y = \frac{f(x) — f(-x)}{2}$ является нечетной.
5. Сумма четной и нечетной функции восстанавливает исходную функцию $y = f(x)$.