ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.47 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = f(x)$, где $f(x) = 2x^2 — 5x + 3$;

б) $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{5x + 1}{x^2 + 1}$

а) $y = f(x)$, где $f(x) = 2x^2 — 5x + 3$;
Функция $y = g(x)$ — нечетная и определена на $\mathbb{R}$;
$f(x) = g(x)$ при $x \geq 0$;

Если $x < 0$, тогда $(-x) > 0$, значит:

$$g(-x) = -g(x), \text{где } x > 0;$$ $$g(-x) = 2(-x)^2 — 5(-x) + 3 = 2x^2 + 5x + 3;$$ $$g(x) = -g(-x) = -(2x^2 + 5x + 3);$$ $$g(x) = \begin{cases} 2x^2 — 5x + 3, & \text{если } x \geq 0 \\ -(2x^2 + 5x + 3), & \text{если } x < 0 \end{cases};$$

Значение функции $h(x)$ при $x < 0$:

$$h(x) = f(x) + g(x) = (2x^2 — 5x + 3) — (2x^2 + 5x + 3) = -10x;$$ $$h(-2) = -10 \cdot (-2) = 20;$$

Ответ: 20.

б) $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{5x + 1}{x^2 + 1}$;
Функция $y = g(x)$ — четная и определена на $\mathbb{R}$;
$f(x) = g(x)$ при $x \leq 0$;

Если $x > 0$, тогда $(-x) < 0$, значит:

$$g(-x) = g(x), \text{где } x > 0;$$ $$g(x) = g(-x) = \frac{5(-x) + 1}{(-x)^2 + 1} = \frac{1 — 5x}{x^2 + 1};$$ $$g(x) = \begin{cases} \frac{5x + 1}{x^2 + 1}, & \text{если } x \leq 0 \\ \frac{1 — 5x}{x^2 + 1}, & \text{если } x > 0 \end{cases};$$

Значение функции $h(x)$ при $x > 0$:

$$h(x) = \frac{2f(x) — g(x)}{f(x) + g(x)} = \frac{2 \cdot \frac{5x + 1}{x^2 + 1} — \frac{1 — 5x}{x^2 + 1}}{\frac{5x + 1}{x^2 + 1} + \frac{1 — 5x}{x^2 + 1}};$$ $$h(x) = \frac{\frac{10x + 2 — (1 — 5x)}{x^2 + 1}}{\frac{5x + 1 + (1 — 5x)}{x^2 + 1}} = \frac{10x + 2 — 1 + 5x}{2} = \frac{15x + 1}{2};$$ $$h(1) = \frac{15 \cdot 1 + 1}{2} = \frac{16}{2} = 8;$$

Ответ: 8.

$$\boxed{20, 8}$$

а) $y = f(x)$, где $f(x) = 2x^2 — 5x + 3$;

Функция $y = g(x)$ — нечетная и определена на $\mathbb{R}$;
$f(x) = g(x)$ при $x \geq 0$.

Решение:

Нам нужно найти выражение для функции $g(x)$, используя, что она нечетная и совпадает с $f(x)$ при $x \geq 0$.

Характеристика нечетной функции
Если функция $g(x)$ нечетная, то выполняется условие:

$$g(-x) = -g(x) \quad \text{для всех} \ x \in \mathbb{R}.$$

Это означает, что для $x < 0$ значение функции $g(x)$ можно выразить через значения $g(x)$ для $x > 0$. Мы можем использовать это свойство для определения функции $g(x)$ на всей области определения.

Функция $f(x)$ для $x \geq 0$:
У нас есть функция $f(x) = 2x^2 — 5x + 3$, которая совпадает с функцией $g(x)$ при $x \geq 0$. Таким образом, для $x \geq 0$:

$$g(x) = 2x^2 — 5x + 3.$$

Вычисление $g(x)$ для $x < 0$:
Теперь определим функцию $g(x)$ для $x < 0$ с учетом, что функция $g(x)$ является нечетной. Согласно определению нечетной функции, для $x < 0$ выполняется:

$$g(-x) = -g(x), \quad \text{где} \ x > 0.$$

Подставим в это выражение $g(-x)$ из функции $f(x)$ для $x > 0$:

$$g(-x) = 2(-x)^2 — 5(-x) + 3 = 2x^2 + 5x + 3.$$

Таким образом, для $x < 0$:

$$g(x) = -g(-x) = -(2x^2 + 5x + 3) = -2x^2 — 5x — 3.$$

Общее выражение для $g(x)$:
Объединим оба случая, и получим:

$$g(x) = \begin{cases} 2x^2 — 5x + 3, & \text{если} \ x \geq 0, \\ -2x^2 — 5x — 3, & \text{если} \ x < 0. \end{cases}$$

Решение для функции $h(x)$:

Теперь найдем значение функции $h(x)$ при $x < 0$. Согласно условию задачи, функция $h(x)$ выражается как:

$$h(x) = f(x) + g(x).$$

Для $x < 0$ имеем:

$$f(x) = 2x^2 — 5x + 3, \quad g(x) = -2x^2 — 5x — 3.$$

Тогда:

$$h(x) = (2x^2 — 5x + 3) + (-2x^2 — 5x — 3).$$

Упростим выражение:

$$h(x) = 2x^2 — 5x + 3 — 2x^2 — 5x — 3 = -10x.$$

Теперь вычислим $h(x)$ при $x = -2$:

$$h(-2) = -10 \cdot (-2) = 20.$$

Ответ: $20$.

б) $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{5x + 1}{x^2 + 1}$;

Функция $y = g(x)$ — четная и определена на $\mathbb{R}$;
$f(x) = g(x)$ при $x \leq 0$.

Решение:

Нам нужно найти выражение для функции $g(x)$, используя, что она четная и совпадает с $f(x)$ при $x \leq 0$.

Характеристика четной функции
Если функция $g(x)$ четная, то выполняется условие:

$$g(-x) = g(x) \quad \text{для всех} \ x \in \mathbb{R}.$$

Это означает, что для $x > 0$ значение функции $g(x)$ можно выразить через значения $g(x)$ для $x < 0$. Мы можем использовать это свойство для определения функции $g(x)$ на всей области определения.

Функция $f(x)$ для $x \leq 0$:
У нас есть функция $f(x) = \frac{5x + 1}{x^2 + 1}$, которая совпадает с функцией $g(x)$ при $x \leq 0$. Таким образом, для $x \leq 0$:

$$g(x) = \frac{5x + 1}{x^2 + 1}.$$

Вычисление $g(x)$ для $x > 0$:
Теперь определим функцию $g(x)$ для $x > 0$ с учетом, что функция $g(x)$ является четной. Согласно определению четной функции, для $x > 0$ выполняется:

$$g(-x) = g(x), \quad \text{где} \ x > 0.$$

Подставим в это выражение $g(-x)$ из функции $f(x)$ для $x < 0$:

$$g(x) = g(-x) = \frac{5(-x) + 1}{(-x)^2 + 1} = \frac{1 — 5x}{x^2 + 1}.$$

Общее выражение для $g(x)$:
Объединим оба случая, и получим:

$$g(x) = \begin{cases} \frac{5x + 1}{x^2 + 1}, & \text{если} \ x \leq 0, \\ \frac{1 — 5x}{x^2 + 1}, & \text{если} \ x > 0. \end{cases}$$

Решение для функции $h(x)$:

Теперь найдем значение функции $h(x)$ при $x > 0$. Согласно условию задачи, функция $h(x)$ выражается как:

$$h(x) = \frac{2f(x) — g(x)}{f(x) + g(x)}.$$

Для $x > 0$ имеем:

$$f(x) = \frac{5x + 1}{x^2 + 1}, \quad g(x) = \frac{1 — 5x}{x^2 + 1}.$$

Подставляем это в формулу для $h(x)$:

$$h(x) = \frac{2 \cdot \frac{5x + 1}{x^2 + 1} — \frac{1 — 5x}{x^2 + 1}}{\frac{5x + 1}{x^2 + 1} + \frac{1 — 5x}{x^2 + 1}}.$$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$$h(x) = \frac{\frac{10x + 2 — (1 — 5x)}{x^2 + 1}}{\frac{5x + 1 + (1 — 5x)}{x^2 + 1}} = \frac{10x + 2 — 1 + 5x}{2} = \frac{15x + 1}{2}.$$

Теперь вычислим $h(x)$ при $x = 1$:

$$h(1) = \frac{15 \cdot 1 + 1}{2} = \frac{16}{2} = 8.$$

Ответ: $8$.

$$\boxed{20, 8}$$