ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.48 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Дана функция $y = x^2(ax + 2a — 6)$:

а) Функция является четной

б) Функция является нечетной

Дана функция: $y = x^2(ax + 2a — 6)$;

а) Функция является четной:

$$y(-x) = (-x)^2 \cdot (a(-x) + 2a — 6) = x^2(2a — 6 — ax) = y(x);$$ $$x^2(ax + 2a — 6) = x^2(2a — 6 — ax);$$ $$ax + 2a — 6 = 2a — 6 — ax;$$ $$2ax = 0;$$ $$a = \frac{0}{2x} = 0;$$

Ответ: $a = 0$.

б) Функция является нечетной:

$$y(-x) = (-x)^2 \cdot (a(-x) + 2a — 6) = x^2(2a — 6 — ax) = -y(x);$$ $$x^2(ax + 2a — 6) = -x^2(2a — 6 — ax);$$ $$ax + 2a — 6 = ax + 6 — 2a;$$ $$4a = 12;$$ $$a = \frac{12}{4} = 3;$$

Ответ: $a = 3$.

Дана функция:

$$y = x^2(ax + 2a — 6)$$

а) Функция является четной

Чтобы функция была четной, должно выполняться условие:

$$y(-x) = y(x) \quad \text{для всех} \ x \in \mathbb{R}.$$

Шаг 1: Рассчитаем $y(-x)$.

Подставим $-x$ вместо $x$ в выражение для функции $y$:

$$y(-x) = (-x)^2 \cdot \left(a(-x) + 2a — 6\right).$$

Используем свойство $(-x)^2 = x^2$, и получаем:

$$y(-x) = x^2 \cdot \left(a(-x) + 2a — 6\right).$$

Упростим выражение внутри скобок:

$$a(-x) + 2a — 6 = -ax + 2a — 6.$$

Таким образом:

$$y(-x) = x^2 \cdot \left(-ax + 2a — 6\right).$$

Шаг 2: Условие четности функции.

Для того чтобы функция была четной, нужно, чтобы:

$$y(-x) = y(x).$$

Теперь подставим выражение для $y(x)$ и $y(-x)$ в это условие. Из условия задачи:

$$y(x) = x^2 \cdot (ax + 2a — 6),$$

и

$$y(-x) = x^2 \cdot (-ax + 2a — 6).$$

Приравняем эти два выражения:

$$x^2 \cdot (ax + 2a — 6) = x^2 \cdot (-ax + 2a — 6).$$

Так как $x^2 \neq 0$ для всех $x \neq 0$, можно сократить на $x^2$, получив:

$$ax + 2a — 6 = -ax + 2a — 6.$$

Шаг 3: Решение полученного уравнения.

Переносим все выражения с $a$ в одну сторону:

$$ax + ax = 0,$$

или

$$2ax = 0.$$

Так как $x$ может быть любым, кроме 0, мы получаем:

$$a = 0.$$

Ответ: $a = 0$.

б) Функция является нечетной

Чтобы функция была нечетной, должно выполняться условие:

$$y(-x) = -y(x) \quad \text{для всех} \ x \in \mathbb{R}.$$

Шаг 1: Рассчитаем $y(-x)$.

Ранее мы уже вычислили, что:

$$y(-x) = x^2 \cdot \left(-ax + 2a — 6\right).$$

Шаг 2: Условие нечетности функции.

Для того чтобы функция была нечетной, нужно, чтобы:

$$y(-x) = -y(x).$$

Подставим выражение для $y(x)$ и $y(-x)$ в это условие. Из условия задачи:

$$y(x) = x^2 \cdot (ax + 2a — 6),$$

и

$$y(-x) = x^2 \cdot (-ax + 2a — 6).$$

Приравняем их по условию нечетности:

$$x^2 \cdot (-ax + 2a — 6) = -x^2 \cdot (ax + 2a — 6).$$

Сократим на $x^2$ (при $x \neq 0$):

$$-ax + 2a — 6 = -(ax + 2a — 6).$$

Раскроем правую часть:

$$-ax + 2a — 6 = -ax — 2a + 6.$$

Теперь перенесем все выражения с $a$ в одну сторону:

$$2a + 2a = 6 + 6,$$

или

$$4a = 12.$$

Шаг 3: Решение полученного уравнения.

Разделим обе стороны на 4:

$$a = \frac{12}{4} = 3.$$

Ответ: $a = 3$.

Итоговый ответ:

• Для четности функции $a = 0$.
• Для нечетности функции $a = 3$.