ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.49 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Дана функция, определенная на $\mathbb{R}$:

$$y=f(x);$$

$$y = f(x);$$ $$f(x-3)=a{x}^2+x;$$

Найдите функцию $f(x)$ и значение параметра $a$, при условии, что функция $f(x)$ является четной.

Дана функция, определенная на $\mathbb{R}$:

$$y = f(x);$$ $$f(x-3) = ax^2 + x;$$

1) Найдем функцию $y = f(x)$:

Подставим в выражение $f(x-3)$ замену $x$ на $(x-3)+3$:

$$f((x-3)+3) = a(x+3)^2 + (x+3).$$

Раскроем скобки:

$$f(x) = a(x^2 + 6x + 9) + x + 3 = ax^2 + 6ax + 9a + x + 3.$$

2) Функция является четной:

Чтобы функция была четной, должно выполняться условие:

$$f(-x) = f(x) \quad \text{для всех} \ x \in \mathbb{R}.$$

Рассчитаем $f(-x)$:

$$f(-x) = a(-x)^2 + 6a(-x) + 9a + (-x) + 3 = f(x).$$

Упростим выражение:

$$f(-x) = ax^2 — 6ax + 9a — x + 3.$$

Приравняем $f(-x)$ к $f(x)$:

$$ax^2 — 6ax + 9a — x + 3 = ax^2 + 6ax + 9a + x + 3.$$

Упростим это уравнение:

$$-6ax — x = 6ax + x.$$

Переносим все выражения с $x$ в одну сторону:

$$-12ax = 2x.$$

Решаем для $a$:

$$a = \frac{2x}{12x} = \frac{2}{12} = -\frac{1}{6}.$$

Ответ: $a = -\frac{1}{6}$.

Дана функция, определенная на $\mathbb{R}$:

$$y = f(x);$$ $$f(x-3) = ax^2 + x;$$

Нам нужно найти функцию $f(x)$ и значение параметра $a$, при условии, что функция $f(x)$ является четной.

Шаг 1: Найдем функцию $f(x)$

Мы знаем, что $f(x-3) = ax^2 + x$. Это означает, что функция $f(x)$ связана с $f(x-3)$ сдвигом на 3 единицы вправо.

Для того чтобы выразить $f(x)$, заменим $x$ на $x+3$ в функции $f(x-3)$:

$$f((x-3) + 3) = a(x+3)^2 + (x+3).$$

Теперь у нас есть $f(x)$, записанная через $x$. Раскроем скобки:

$$f(x) = a(x+3)^2 + (x+3).$$

Рассмотрим каждый элемент в выражении по отдельности:

$$(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9.$$

Таким образом:

$$f(x) = a(x^2 + 6x + 9) + (x + 3).$$

Раскроем и упростим выражение:

$$f(x) = a(x^2 + 6x + 9) + x + 3 = ax^2 + 6ax + 9a + x + 3.$$

Итак, мы нашли функцию $f(x)$:

$$f(x) = ax^2 + 6ax + 9a + x + 3.$$

Шаг 2: Условие четности функции

Чтобы функция $f(x)$ была четной, должно выполняться условие:

$$f(-x) = f(x) \quad \text{для всех} \ x \in \mathbb{R}.$$

Рассчитаем $f(-x)$:

Подставим $-x$ вместо $x$ в выражение для $f(x)$:

$$f(-x) = a(-x)^2 + 6a(-x) + 9a + (-x) + 3.$$

Преобразуем каждый из элементов:

$$(-x)^2 = x^2, \quad 6a(-x) = -6ax, \quad (-x) = -x.$$

Таким образом, выражение для $f(-x)$ примет вид:

$$f(-x) = ax^2 — 6ax + 9a — x + 3.$$

Теперь приравняем $f(-x)$ к $f(x)$, так как функция должна быть четной:

$$f(-x) = f(x),$$

то есть:

$$ax^2 — 6ax + 9a — x + 3 = ax^2 + 6ax + 9a + x + 3.$$

Шаг 3: Упрощение полученного уравнения

Сначала сократим одинаковые элементы с обеих сторон уравнения:

$$ax^2 + 9a + 3 = ax^2 + 9a + 3.$$

Таким образом, $ax^2$, $9a$, и $3$ остаются одинаковыми по обеим сторонам уравнения.

Переносим все оставшиеся элементы с $x$ в одну сторону:

$$-6ax — x = 6ax + x.$$

Переносим все слагаемые с $x$ в одну сторону:

$$-6ax — x — 6ax — x = 0.$$

Теперь у нас есть:

$$-12ax — 2x = 0.$$

Вынесем общий множитель $x$:

$$x(-12a — 2) = 0.$$

Поскольку $x \neq 0$ (для всех $x \neq 0$), получаем:

$$-12a — 2 = 0.$$

Шаг 4: Решение для $a$

Решим это уравнение для $a$:

$$-12a = 2,$$ $$a = \frac{2}{-12} = -\frac{1}{6}.$$

Итоговый ответ:

Параметр $a = -\frac{1}{6}$, при этом функция $f(x)$ является четной.