ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Пусть функция у = f(x) возрастает и принимает только положительные значения на промежутке X. Докажите, что функция у = (f(x)² возрастает на промежутке X.

б) Пусть функция у = f(x) убывает и принимает только положительные значения на промежутке X. Докажите, что функция у = (f(x)² убывает на промежутке X.

в) Пусть функция у = f(x) возрастает и принимает только отрицательные значения на промежутке X. Докажите, что функция у = (f(x)² убывает на промежутке X.

г) Пусть функция у = f(x) убывает и принимает только отрицательные значения на промежутке X. Докажите, что функция у = (f(x)² возрастает на промежутке X.

а) Если функция $y = f(x) > 0$ и возрастает на промежутке $X$, тогда функция $y = (f(x))^2$ возрастает на промежутке $X$;

Пусть $x_1 < x_2$, тогда:

$$0 < f(x_1) < f(x_2);$$ $$(f(x_1))^2 < (f(x_2))^2;$$ $$y(x_1) < y(x_2);$$

Что и требовалось доказать.

б) Если функция $y = f(x) > 0$ и убывает на промежутке $X$, тогда функция $y = (f(x))^2$ убывает на промежутке $X$;

Пусть $x_2 > x_1$, тогда:

$$0 < f(x_2) < f(x_1);$$ $$(f(x_2))^2 < (f(x_1))^2;$$ $$y(x_2) < y(x_1);$$

Что и требовалось доказать.

в) Если функция $y = f(x) < 0$ и возрастает на промежутке $X$, тогда функция $y = (f(x))^2$ убывает на промежутке $X$;

Пусть $x_1 < x_2$, тогда:

$$f(x_1) < f(x_2) < 0;$$ $$(f(x_1))^2 > (f(x_2))^2;$$ $$y(x_1) > y(x_2);$$

Что и требовалось доказать.

г) Если функция $y = f(x) < 0$ и убывает на промежутке $X$, тогда функция $y = (f(x))^2$ возрастает на промежутке $X$;

Пусть $x_2 > x_1$, тогда:

$$f(x_2) < f(x_1) < 0;$$ $$(f(x_2))^2 > (f(x_1))^2;$$ $$y(x_2) > y(x_1);$$

Что и требовалось доказать.

а) Если функция $y = f(x) > 0$ и возрастает на промежутке $X$, тогда функция $y = (f(x))^2$ возрастает на промежутке $X$

Условие:

• Пусть функция $f(x) > 0$ на промежутке $X$.
• Функция $f(x)$ возрастает на промежутке $X$, то есть для любых $x_1 < x_2$ на промежутке $X$ выполняется $f(x_1) < f(x_2)$.

Требуется доказать:

• Если $f(x)$ возрастает на $X$, то функция $y = (f(x))^2$ тоже возрастает на $X$, то есть для $x_1 < x_2$ должно выполняться $(f(x_1))^2 < (f(x_2))^2$.

Доказательство:

Пусть $x_1 < x_2$ на промежутке $X$, где $f(x) > 0$. Так как $f(x)$ возрастает, то из этого следует, что:

$$0 < f(x_1) < f(x_2).$$

Теперь, возведем обе части неравенства $f(x_1) < f(x_2)$ в квадрат:

$$(f(x_1))^2 < (f(x_2))^2.$$

Это неравенство выполняется, потому что обе функции $f(x_1)$ и $f(x_2)$ положительные (по условию $f(x) > 0$), и квадрат положительного числа сохраняет порядок.

Таким образом, для $x_1 < x_2$ на промежутке $X$ выполняется:

$$y(x_1) = (f(x_1))^2 < (f(x_2))^2 = y(x_2),$$

то есть функция $y = (f(x))^2$ возрастает на $X$, что и требовалось доказать.

б) Если функция $y = f(x) > 0$ и убывает на промежутке $X$, тогда функция $y = (f(x))^2$ убывает на промежутке $X$

Условие:

• Пусть функция $f(x) > 0$ на промежутке $X$.
• Функция $f(x)$ убывает на промежутке $X$, то есть для любых $x_2 > x_1$ на промежутке $X$ выполняется $f(x_2) < f(x_1)$.

Требуется доказать:

• Если $f(x)$ убывает на $X$, то функция $y = (f(x))^2$ тоже убывает на $X$, то есть для $x_2 > x_1$ должно выполняться $(f(x_2))^2 < (f(x_1))^2$.

Доказательство:

Пусть $x_2 > x_1$ на промежутке $X$, где $f(x) > 0$. Так как $f(x)$ убывает на $X$, то из этого следует, что:

$$0 < f(x_2) < f(x_1).$$

Теперь возведем обе части неравенства $f(x_2) < f(x_1)$ в квадрат:

$$(f(x_2))^2 < (f(x_1))^2.$$

Это неравенство выполняется, потому что функции $f(x_2)$ и $f(x_1)$ положительные, и квадрат сохраняет порядок для положительных чисел.

Таким образом, для $x_2 > x_1$ на промежутке $X$ выполняется:

$$y(x_2) = (f(x_2))^2 < (f(x_1))^2 = y(x_1),$$

то есть функция $y = (f(x))^2$ убывает на $X$, что и требовалось доказать.

в) Если функция $y = f(x) < 0$ и возрастает на промежутке $X$, тогда функция $y = (f(x))^2$ убывает на промежутке $X$

Условие:

• Пусть функция $f(x) < 0$ на промежутке $X$.
• Функция $f(x)$ возрастает на промежутке $X$, то есть для любых $x_1 < x_2$ на промежутке $X$ выполняется $f(x_1) < f(x_2)$.

Требуется доказать:

• Если $f(x)$ возрастает на $X$, то функция $y = (f(x))^2$ убывает на $X$, то есть для $x_1 < x_2$ должно выполняться $(f(x_1))^2 > (f(x_2))^2$.

Доказательство:

Пусть $x_1 < x_2$ на промежутке $X$, где $f(x) < 0$. Так как $f(x)$ возрастает, то из этого следует, что:

$$f(x_1) < f(x_2) < 0.$$

Теперь возведем обе части неравенства $f(x_1) < f(x_2)$ в квадрат. Заметим, что для отрицательных чисел квадрат меняет порядок, то есть:

$$(f(x_1))^2 > (f(x_2))^2.$$

Это неравенство выполняется, потому что $f(x_1)$ и $f(x_2)$ отрицательные, и квадрат отрицательного числа увеличивается, чем больше по величине число.

Таким образом, для $x_1 < x_2$ на промежутке $X$ выполняется:

$$y(x_1) = (f(x_1))^2 > (f(x_2))^2 = y(x_2),$$

то есть функция $y = (f(x))^2$ убывает на $X$, что и требовалось доказать.

г) Если функция $y = f(x) < 0$ и убывает на промежутке $X$, тогда функция $y = (f(x))^2$ возрастает на промежутке $X$

Условие:

• Пусть функция $f(x) < 0$ на промежутке $X$.
• Функция $f(x)$ убывает на промежутке $X$, то есть для любых $x_2 > x_1$ на промежутке $X$ выполняется $f(x_2) < f(x_1)$.

Требуется доказать:

• Если $f(x)$ убывает на $X$, то функция $y = (f(x))^2$ возрастает на $X$, то есть для $x_2 > x_1$ должно выполняться $(f(x_2))^2 > (f(x_1))^2$.

Доказательство:

Пусть $x_2 > x_1$ на промежутке $X$, где $f(x) < 0$. Так как $f(x)$ убывает на $X$, то из этого следует, что:

$$f(x_2) < f(x_1) < 0.$$

Теперь возведем обе части неравенства $f(x_2) < f(x_1)$ в квадрат. Так как обе функции $f(x_2)$ и $f(x_1)$ отрицательные, квадрат их величин изменяет порядок:

$$(f(x_2))^2 > (f(x_1))^2.$$

Это неравенство выполняется, потому что квадрат отрицательного числа увеличивается, чем больше по величине само число.

Таким образом, для $x_2 > x_1$ на промежутке $X$ выполняется:

$$y(x_2) = (f(x_2))^2 > (f(x_1))^2 = y(x_1),$$

то есть функция $y = (f(x))^2$ возрастает на $X$, что и требовалось доказать.