ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.50 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Дана функция, определенная на $\mathbb{R}$, кроме точек $x = \pm 1$. Найдите значение параметра $a$:

$$$y = f(x);$

$f(x-1)=\frac{a+6}{x}+x-1$

Дана функция, определенная на $\mathbb{R}$, кроме точек $x = \pm 1$:
$y = f(x);$
$f(x-1) = \frac{a+6}{x} + x — 1;$

Найдем функцию $y = f(x)$:
$f((x-1)+1) = \frac{a+6}{x+1} + (x+1) — 1 = \frac{a+6}{x+1} + x;$

Функция является нечетной:
$f(-x) = \frac{a+6}{-x+1} + (-x) = \frac{a+6}{1-x} — x = -f(x);$
$\frac{a+6}{1-x} — x = -\left( \frac{a+6}{x+1} + x \right);$
$\frac{a+6}{1-x} — x = -\frac{a+6}{x+1} — x;$
$\frac{a+6}{1-x} = \frac{a+6}{x+1};$
$(a+6)(x+1) = (a+6)(1-x);$
$ax + a + 6x + 6 = a — ax + 6 — 6x;$
$ax + 6x = -ax — 6x;$
$2ax = -12x;$
$a = -\frac{12x}{2x} = -\frac{12}{2} = -6;$

Ответ: $a = -6$.

Мы должны найти значение параметра $a$, при этом дано, что функция $f(x)$ определена на $\mathbb{R}$, за исключением точек $x = \pm 1$, и есть два важных уравнения, связанных с функцией:

1. $f(x-1) = \frac{a+6}{x} + x — 1$,
2. Необходимо, чтобы функция $f(x)$ была нечетной.

Рассмотрим шаги подробно.

Шаг 1: Выразим $f(x)$ через $f(x-1)$

Нам нужно найти $f(x)$ из уравнения $f(x-1) = \frac{a+6}{x} + x — 1$. Для этого сделаем замену переменной. Пусть $x’ = x — 1$, тогда:

$$f(x’) = \frac{a+6}{x’+1} + (x’+1) — 1.$$

Теперь упростим правую часть:

$$f(x’) = \frac{a+6}{x’+1} + x’.$$

Это выражение можно записать как:

$$f(x) = \frac{a+6}{x+1} + x.$$

Таким образом, мы нашли, что функция $f(x)$ имеет вид:

$$f(x) = \frac{a+6}{x+1} + x.$$

Шаг 2: Условие на нечетность функции

Функция $f(x)$ должна быть нечетной, то есть должно выполняться равенство:

$$f(-x) = -f(x).$$

Теперь подставим выражение для $f(x)$ и $f(-x)$ в это равенство.

Для $f(x)$ мы знаем, что:

$$f(x) = \frac{a+6}{x+1} + x.$$

Найдем $f(-x)$:

$$f(-x) = \frac{a+6}{-x+1} + (-x) = \frac{a+6}{1-x} — x.$$

Теперь подставим $f(x)$ и $f(-x)$ в условие $f(-x) = -f(x)$:

$$\frac{a+6}{1-x} — x = -\left( \frac{a+6}{x+1} + x \right).$$

Шаг 3: Упростим уравнение

Распишем правую часть:

$$\frac{a+6}{1-x} — x = -\frac{a+6}{x+1} — x.$$

Теперь избавимся от $x$ с обеих сторон, сложив $x$ с обеих сторон уравнения:

$$\frac{a+6}{1-x} = -\frac{a+6}{x+1}.$$

Шаг 4: Умножим обе части на $(x+1)(1-x)$

Для упрощения выражений умножим обе части уравнения на $(x+1)(1-x)$, чтобы избавиться от дробей:

$$(a+6)(x+1) = -(a+6)(1-x).$$

Шаг 5: Раскроем скобки

Теперь раскроем скобки с обеих сторон:

$$(a+6)(x+1) = (a+6)x + (a+6),$$ $$-(a+6)(1-x) = -(a+6) + (a+6)x.$$

Получаем уравнение:

$$(a+6)x + (a+6) = (a+6)x — (a+6) + (a+6)x.$$

Шаг 6: Сократим одинаковые части

Избавимся от одинаковых частей с обеих сторон уравнения. Видим, что $(a+6)x$ присутствует с обеих сторон, и они сокращаются:

$$(a+6) = -(a+6) + (a+6)x.$$

Шаг 7: Переносим все к одной стороне

Переносим все элементы, содержащие $(a+6)$, в одну сторону уравнения:

$$(a+6) + (a+6) = (a+6)x.$$

Таким образом:

$$2(a+6) = (a+6)x.$$

Шаг 8: Разделим обе части на $(a+6)$

Предположим, что $a+6 \neq 0$ (проверим позже). Тогда мы можем поделить обе части уравнения на $(a+6)$, и получим:

$$2 = x.$$

Шаг 9: Вернемся к значению $a$

Теперь рассмотрим, что если $a+6 = 0$, то $a = -6$. Это исключает ситуацию, когда $a+6 \neq 0$, и дает нам единственный возможный результат для $a$:

$$a = -6.$$

Ответ

Значение параметра $a$ равно $\boxed{-6}$.