ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.51 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Дано уравнение: $5x^2 — 3|x| + \frac{1}{x^2} + \frac{3x^2 + 4|x| + 11}{5x^2 + 1} = 6$

Дано уравнение: $5x^2 — 3|x| + \frac{1}{x^2} + \frac{3x^2 + 4|x| + 11}{5x^2 + 1} = 6$;

1. Решением является значение $x$, при котором $f(x) = 0$:
   $f(x) = 5x^2 — 3|x| + \frac{1}{x^2} + \frac{3x^2 + 4|x| + 11}{5x^2 + 1} — 6;$
2. Область определения функции:
   $x^2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 0;$
   $5x^2 + 1 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \in \mathbb{R};$
   $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty);$
3. Функция является четной:
   $f(-x) = 5(-x)^2 — 3|-x| + \frac{1}{(-x)^2} + \frac{3(-x)^2 + 4|-x| + 11}{5(-x)^2 + 1} — 6;$
   $f(-x) = 5x^2 — 3|x| + \frac{1}{x^2} + \frac{3x^2 + 4|x| + 11}{5x^2 + 1} — 6 = f(x);$
4. График четной функции симметричен относительно оси ординат, значит, если он пересекает ось $Ox$ в точке $(a; 0)$, то он пересекает ее и в точке $(-a; 0)$, при этом точки $a$ и $(-a)$ являются решениями данного уравнения;
5. Рассмотрим некоторые значения функции $y = f(x)$ при $x > 0$:
   $f(1) = 5 — 3 + \frac{1}{1} + \frac{3 + 4 + 11}{5 + 1} — 6 = -4 + 1 + \frac{18}{6} = -3 + 3 = 0;$
6. Значит верно, что $f(-1) = 0$, то есть данное уравнение имеет, по крайней мере, два решения, что и требовалось доказать.
7. Пусть уравнение имеет $n$ решений, тогда их сумма равна:
   $S = a_1 + a_2 + \ldots + a_{n/2} — a_{n/2} — \ldots — a_2 — a_1 = 0;$

Ответ: $0$.

Давайте детально разберем решение уравнения:

$$5x^2 — 3|x| + \frac{1}{x^2} + \frac{3x^2 + 4|x| + 11}{5x^2 + 1} = 6$$

Шаг 1: Перепишем уравнение

Прежде чем решать уравнение, определим функцию $f(x)$, при которой её значение равно нулю:

$$f(x) = 5x^2 — 3|x| + \frac{1}{x^2} + \frac{3x^2 + 4|x| + 11}{5x^2 + 1} — 6$$

Таким образом, решение уравнения будет найдено при $f(x) = 0$.

Шаг 2: Область определения функции

Теперь рассмотрим область определения функции $f(x)$. Необходимо найти все $x$, при которых все выражения в $f(x)$ имеют смысл.

1. В первой части выражения есть выражение $\frac{1}{x^2}$. Оно определено, если $x^2 \neq 0$, то есть $x \neq 0$.
2. Во второй части есть дробь $\frac{3x^2 + 4|x| + 11}{5x^2 + 1}$, и знаменатель $5x^2 + 1$ никогда не равен нулю для всех $x \in \mathbb{R}$, так как $5x^2 + 1 \geq 1$. Следовательно, дробь всегда определена.

Таким образом, область определения функции $f(x)$ — это все значения $x$, кроме $x = 0$. То есть:

$$D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$

Шаг 3: Проверим, является ли функция четной

Функция $f(x)$ будет четной, если выполняется условие:

$$f(-x) = f(x)$$

Подставим в выражение для $f(x)$ значение $-x$. При этом $|x|$ всегда будет равно $|-x|$, а $x^2 = (-x)^2$, поэтому все части функции, содержащие $x^2$ или $|x|$, остаются неизменными при замене $x$ на $-x$. Мы получаем:

$$f(-x) = 5(-x)^2 — 3|-x| + \frac{1}{(-x)^2} + \frac{3(-x)^2 + 4|-x| + 11}{5(-x)^2 + 1} — 6$$ $$= 5x^2 — 3|x| + \frac{1}{x^2} + \frac{3x^2 + 4|x| + 11}{5x^2 + 1} — 6$$

Таким образом, $f(-x) = f(x)$, и функция является четной.

Шаг 4: График четной функции и решение уравнения

График четной функции симметричен относительно оси ординат. Это означает, что если график пересекает ось $Ox$ в точке $(a, 0)$, то он пересекает её и в точке $(-a, 0)$. Поэтому если $a$ является решением уравнения, то также решением будет и $-a$. Это говорит о том, что у уравнения будет два решения: $a$ и $-a$.

Шаг 5: Проверим некоторые значения функции при $x > 0$

Для поиска конкретных решений рассмотрим значение функции при $x = 1$:

$$f(1) = 5(1)^2 — 3|1| + \frac{1}{(1)^2} + \frac{3(1)^2 + 4|1| + 11}{5(1)^2 + 1} — 6$$

Рассчитаем поэтапно:

$$f(1) = 5 \cdot 1^2 — 3 \cdot 1 + \frac{1}{1^2} + \frac{3 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 + 11}{5 \cdot 1^2 + 1} — 6$$ $$= 5 — 3 + 1 + \frac{3 + 4 + 11}{5 + 1} — 6$$ $$= 5 — 3 + 1 + \frac{18}{6} — 6$$ $$= 5 — 3 + 1 + 3 — 6$$ $$= 0$$

Таким образом, $f(1) = 0$. Поскольку функция четная, то $f(-1) = 0$ также.

Это означает, что уравнение имеет два решения: $x = 1$ и $x = -1$.

Шаг 6: Подсчитаем количество решений

Поскольку функция $f(x)$ четная, то у уравнения будет два решения: $x = 1$ и $x = -1$.

Сумма решений $S$ для уравнения равна:

$$S = 1 + (-1) = 0$$

Ответ: Сумма решений уравнения равна $\boxed{0}$.