ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = (x^2 + 1)^2$

б) $y=x^4+6x^2+15$

в) $y = (x^2 — 3x + 10)^2$

г) $y=(x^2+2{)}^2-2x^2-3$

а) $y = (x^2 + 1)^2$;

Рассмотрим функцию:
$y = x^2 + 1;$

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0;$

$a = 1 > 0 \quad \text{— ветви направлены вверх;}$

$x^2 + 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 > -1 \quad \Rightarrow \quad x \in \mathbb{R};$

Возрастает на $[0; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; 0]$;

Принимает положительные значения на $(-∞; +∞)$;

Ответ: возрастает на $[0; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; 0]$.

б) $y = x^4 + 6x^2 + 15 = x^4 + 6x^2 + 9 + 6 = (x^2 + 3)^2 + 6$;

Рассмотрим функцию:
$y = x^3 + 3;$

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0;$

$a = 1 > 0 \quad \text{— ветви направлены вверх;}$

$x^2 + 3 > 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 > -3 \quad \Rightarrow \quad x \in \mathbb{R};$

Возрастает на $[0; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; 0]$;

Принимает положительные значения на $(-∞; +∞)$;

Ответ: возрастает на $[0; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; 0]$.

в) $y = (x^2 — 3x + 10)^2$;

Рассмотрим функцию:
$y = x^2 — 3x + 10;$

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1,5;$

$a = 1 > 0 \quad \text{— ветви направлены вверх;}$

$x^2 — 3x + 10 > 0;$

$D = 3^2 — 4 \cdot 10 = 9 — 40 = -31 < 0;$

Возрастает на $[1,5; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; 1,5]$;

Принимает положительные значения на $(-∞; +∞)$;

Ответ: возрастает на $[1,5; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; 1,5]$.

г) $y = (x^2 + 2)^2 — 2x^2 — 3 = x^4 + 4x^2 + 4 — 2x^2 — 3 = x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2$;

Рассмотрим функцию:
$y = x^2 + 1;$

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0;$

$a = 1 > 0 \quad \text{— ветви направлены вверх;}$

$x^2 + 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 > -1 \quad \Rightarrow \quad x \in \mathbb{R};$

Возрастает на $[0; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; 0]$;

Принимает положительные значения на $(-∞; +∞)$;

Ответ: возрастает на $[0; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; 0]$.

а) $y = (x^2 + 1)^2$;

Исходная функция:
Рассмотрим функцию:

$$y = (x^2 + 1)^2$$

Это квадратичная функция, которая возведена в квадрат.

Первичное преобразование:
Запишем:

$$y = (x^2 + 1)^2$$

Мы видим, что внутри скобок есть выражение $x^2 + 1$. Это выражение всегда положительно или равно единице, так как для всех значений $x$:

$$x^2 + 1 \geq 1$$

Нахождение критической точки:
Для нахождения экстремума (минимума или максимума) нам нужно исследовать производную. Найдем производную функции $y = (x^2 + 1)^2$:

$$\frac{dy}{dx} = 2(x^2 + 1) \cdot 2x = 4x(x^2 + 1)$$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$$4x(x^2 + 1) = 0$$

Это уравнение имеет два множителя:

• $x = 0$
• $x^2 + 1 = 0$, но у этого уравнения нет действительных корней, так как $x^2 + 1 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Таким образом, единственная критическая точка — это $x_0 = 0$.

Проверка второго производного теста:
Для того чтобы определить, является ли точка $x = 0$ минимумом или максимумом, вычислим вторую производную функции:

$$\frac{d^2y}{dx^2} = 4(x^2 + 1) + 4x^2 = 8x^2 + 4$$

Подставляем $x = 0$:

$$\frac{d^2y}{dx^2} = 8(0)^2 + 4 = 4$$

Поскольку вторая производная положительна ($\frac{d^2y}{dx^2} = 4 > 0$), точка $x = 0$ является точкой минимума.

Направление ветвей:
Поскольку вторая производная положительна, график функции имеет форму «U», то есть ветви направлены вверх. Это означает, что функция возрастает на интервале $[0; +\infty)$ и убывает на интервале $(-\infty; 0]$.

Область определения:
Учитывая, что $x^2 + 1 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, область определения функции — это все действительные числа $\mathbb{R}$.

Значения функции:
Функция принимает все положительные значения, так как $(x^2 + 1)^2 \geq 1$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Ответ:

$$\boxed{Возрастает на [0; +\infty) и убывает на (-\infty; 0]}$$

б) $y = x^4 + 6x^2 + 15 = x^4 + 6x^2 + 9 + 6 = (x^2 + 3)^2 + 6$;

Исходная функция:
Рассмотрим функцию:

$$y = x^4 + 6x^2 + 15$$

Мы можем переписать её как:

$$y = (x^2 + 3)^2 + 6$$

Это выражение представляет собой квадрат функции $x^2 + 3$, который всегда больше либо равен 6.

Производная функции:
Найдем первую производную:

$$\frac{dy}{dx} = 2(x^2 + 3) \cdot 2x = 4x(x^2 + 3)$$

Приравняем её к нулю:

$$4x(x^2 + 3) = 0$$

У нас два множителя:

• $x = 0$
• $x^2 + 3 = 0$, но это не имеет действительных решений, так как $x^2 + 3 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Таким образом, единственная критическая точка — это $x_0 = 0$.

Проверка второй производной:
Вычислим вторую производную:

$$\frac{d^2y}{dx^2} = 4(x^2 + 3) + 4x^2 = 8x^2 + 12$$

Подставляем $x = 0$:

$$\frac{d^2y}{dx^2} = 8(0)^2 + 12 = 12$$

Так как вторая производная положительна ($\frac{d^2y}{dx^2} = 12 > 0$), точка $x = 0$ является точкой минимума.

Направление ветвей:
Поскольку вторая производная положительна, график функции имеет форму «U», то есть ветви направлены вверх. Функция возрастает на интервале $[0; +\infty)$ и убывает на интервале $(-\infty; 0]$.

Область определения:
Область определения — все действительные числа $\mathbb{R}$, так как квадрат любого числа и его сумма с 3 всегда положительны.

Значения функции:
Так как $(x^2 + 3)^2 + 6 \geq 6$, функция принимает значения $\geq 6$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Ответ:

$$\boxed{Возрастает на [0; +\infty) и убывает на (-\infty; 0]}$$

в) $y = (x^2 — 3x + 10)^2$;

Исходная функция:
Рассмотрим функцию:

$$y = (x^2 — 3x + 10)^2$$

Это квадратичная функция, возведенная в квадрат.

Производная функции:
Найдем первую производную:

$$\frac{dy}{dx} = 2(x^2 — 3x + 10) \cdot (2x — 3)$$

Приравняем её к нулю:

$$2(x^2 — 3x + 10)(2x — 3) = 0$$

Получаем два множителя:

• $x^2 — 3x + 10 = 0$, у этого уравнения нет действительных корней, так как дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 9 — 40 = -31$$

Отрицателен, значит, уравнение не имеет решений.

• $2x — 3 = 0$, из чего получаем:

$$x = \frac{3}{2} = 1.5$$

Проверка второй производной:
Вычислим вторую производную функции, но для начала заметим, что график функции будет похож на график параболы, так как вторая производная будет положительной (ветви направлены вверх).

Ответ:
Функция возрастает на интервале $[1.5; +\infty)$ и убывает на интервале $(-\infty; 1.5]$.$$\boxed{Возрастает на [1.5; +\infty) и убывает на (-\infty; 1.5]}$$

г) $y = (x^2 + 2)^2 — 2x^2 — 3 = x^4 + 4x^2 + 4 — 2x^2 — 3 = x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2$;

Исходная функция:
Рассмотрим функцию:

$$y = (x^2 + 1)^2$$

Производная функции:
Как и в пункте (а), для этой функции производная будет:

$$\frac{dy}{dx} = 4x(x^2 + 1)$$

Нахождение критической точки:
Приравняем производную к нулю:

$$4x(x^2 + 1) = 0$$

Получаем:

• $x = 0$

Проверка второй производной:
Вторая производная $\frac{d^2y}{dx^2} = 8x^2 + 4$ и при $x = 0$:

$$\frac{d^2y}{dx^2} = 4$$

Поскольку вторая производная положительна, точка $x = 0$ является минимумом.

Ответ:
Функция возрастает на интервале $[0; +\infty)$ и убывает на интервале $(-\infty; 0]$.$$\boxed{Возрастает на [0; +\infty) и убывает на (-\infty; 0]}$$