ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Пусть функция $y = f(x)$ возрастает на $X$ и принимает на $X$ только положительные значения. Докажите, что функция $y = \frac{1}{f(x)}$ убывает на $X$.

б) Пусть функция $y = f(x)$ возрастает на $X$ и принимает на $X$ только отрицательные значения. Докажите, что функция $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает на $X$.

в) Пусть функция $y = f(x)$ убывает на $X$ и принимает на $X$ только положительные значения. Докажите, что функция $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает на $X$.

г) Пусть функция $y = f(x)$ убывает на $X$ и принимает на $X$ только отрицательные значения. Докажите, что функция $y = \frac{1}{f(x)}$ убывает на $X$.

а) Если функция $y = f(x) > 0$ и возрастает на промежутке $X$, тогда функция $y = \frac{1}{f(x)}$ убывает на промежутке $X$;

Пусть $x_1 < x_2$, тогда:

$$0 < f(x_1) < f(x_2);$$ $$\frac{1}{f(x_1)} > \frac{1}{f(x_2)};$$ $$y(x_1) > y(x_2);$$

Что и требовалось доказать.

б) Если функция $y = f(x) < 0$ и убывает на промежутке $X$, тогда функция $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает на промежутке $X$;

Пусть $x_2 > x_1$, тогда:

$$f(x_2) < f(x_1) < 0;$$ $$-f(x_2) > -f(x_1) > 0;$$ $$-\frac{1}{f(x_2)} < -\frac{1}{f(x_1)};$$ $$\frac{1}{f(x_2)} > \frac{1}{f(x_1)};$$ $$y(x_2) > y(x_1);$$

Что и требовалось доказать.

в) Если функция $y = f(x) > 0$ и убывает на промежутке $X$, тогда функция $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает на промежутке $X$;

Пусть $x_2 > x_1$, тогда:

$$0 < f(x_2) < f(x_1);$$ $$\frac{1}{f(x_2)} > \frac{1}{f(x_1)};$$ $$y(x_2) > y(x_1);$$

Что и требовалось доказать.

г) Если функция $y = f(x) < 0$ и возрастает на промежутке $X$, тогда функция $y = \frac{1}{f(x)}$ убывает на промежутке $X$;

Пусть $x_1 < x_2$, тогда:

$$f(x_1) < f(x_2) < 0;$$ $$-f(x_1) > -f(x_2) > 0;$$ $$-\frac{1}{f(x_1)} < -\frac{1}{f(x_2)};$$ $$\frac{1}{f(x_1)} > \frac{1}{f(x_2)};$$ $$y(x_1) > y(x_2);$$

Что и требовалось доказать.

а) Если функция $y = f(x) > 0$ и возрастает на промежутке $X$, тогда функция $y = \frac{1}{f(x)}$ убывает на промежутке $X$;

1. Начнем с исходных данных:

• $y = f(x) > 0$ на интервале $X$, то есть функция $f(x)$ положительна на этом интервале.
• Функция $f(x)$ возрастает на промежутке $X$, то есть для любых двух точек $x_1 < x_2$ выполняется:

  $$f(x_1) < f(x_2)$$

2. Определим монотонность функции $y = \frac{1}{f(x)}$:

Мы хотим показать, что $y = \frac{1}{f(x)}$ убывает на интервале $X$, т.е. для $x_1 < x_2$ должно быть:

$$y(x_1) > y(x_2)$$

или

$$\frac{1}{f(x_1)} > \frac{1}{f(x_2)}$$

3. Переход к доказательству:

Пусть $x_1 < x_2$. Поскольку $f(x)$ возрастает на интервале $X$, то:

$$0 < f(x_1) < f(x_2)$$

Теперь, рассмотрим выражения для функции $y = \frac{1}{f(x)}$. Так как функция $f(x)$ положительна на интервале $X$, а также $f(x_1) < f(x_2)$, то:

$$\frac{1}{f(x_1)} > \frac{1}{f(x_2)}$$

Это неравенство показывает, что при увеличении $x$ (то есть при переходе от $x_1$ к $x_2$), значение функции $y = \frac{1}{f(x)}$ уменьшается, что и требовалось доказать.

Ответ: $y = \frac{1}{f(x)}$ убывает на промежутке $X$, если $f(x) > 0$ и $f(x)$ возрастает на этом интервале.

б) Если функция $y = f(x) < 0$ и убывает на промежутке $X$, тогда функция $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает на промежутке $X$;

1. Начнем с исходных данных:

• $y = f(x) < 0$ на интервале $X$, то есть функция $f(x)$ отрицательна на этом интервале.
• Функция $f(x)$ убывает на промежутке $X$, то есть для любых двух точек $x_1 < x_2$ выполняется:

  $$f(x_2) < f(x_1)$$

2. Определим монотонность функции $y = \frac{1}{f(x)}$:

Мы хотим показать, что $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает на интервале $X$, т.е. для $x_2 > x_1$ должно быть:

$$y(x_2) > y(x_1)$$

или

$$\frac{1}{f(x_2)} > \frac{1}{f(x_1)}$$

3. Переход к доказательству:

Пусть $x_2 > x_1$. Поскольку $f(x)$ убывает на интервале $X$, то:

$$f(x_2) < f(x_1) < 0$$

Теперь рассмотрим выражения для функции $y = \frac{1}{f(x)}$. Поскольку $f(x_2) < f(x_1)$, и $f(x)$ отрицательно на этом интервале, мы умножаем обе стороны неравенства на отрицательное число, а это меняет знак неравенства:

$$-f(x_2) > -f(x_1) > 0$$

Таким образом, для функции $y = \frac{1}{f(x)}$ получаем:

$$\frac{1}{f(x_2)} > \frac{1}{f(x_1)}$$

Это неравенство показывает, что при увеличении $x$ (при переходе от $x_1$ к $x_2$), значение функции $y = \frac{1}{f(x)}$ увеличивается, что и требовалось доказать.

Ответ: $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает на промежутке $X$, если $f(x) < 0$ и $f(x)$ убывает на этом интервале.

в) Если функция $y = f(x) > 0$ и убывает на промежутке $X$, тогда функция $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает на промежутке $X$;

1. Начнем с исходных данных:

• $y = f(x) > 0$ на интервале $X$, то есть функция $f(x)$ положительна на этом интервале.
• Функция $f(x)$ убывает на промежутке $X$, то есть для любых двух точек $x_1 < x_2$ выполняется:

  $$f(x_2) < f(x_1)$$

2. Определим монотонность функции $y = \frac{1}{f(x)}$:

Мы хотим показать, что $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает на интервале $X$, т.е. для $x_2 > x_1$ должно быть:

$$y(x_2) > y(x_1)$$

или

$$\frac{1}{f(x_2)} > \frac{1}{f(x_1)}$$

3. Переход к доказательству:

Пусть $x_2 > x_1$. Поскольку $f(x)$ убывает на интервале $X$, то:

$$f(x_2) < f(x_1) < 0$$

Теперь рассмотрим выражения для функции $y = \frac{1}{f(x)}$. Так как $f(x_2) < f(x_1)$, и $f(x)$ положителен на этом интервале, то:

$$\frac{1}{f(x_2)} > \frac{1}{f(x_1)}$$

Это неравенство показывает, что при увеличении $x$ (при переходе от $x_1$ к $x_2$), значение функции $y = \frac{1}{f(x)}$ увеличивается, что и требовалось доказать.

Ответ: $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает на промежутке $X$, если $f(x) > 0$ и $f(x)$ убывает на этом интервале.

г) Если функция $y = f(x) < 0$ и возрастает на промежутке $X$, тогда функция $y = \frac{1}{f(x)}$ убывает на промежутке $X$;

1. Начнем с исходных данных:

• $y = f(x) < 0$ на интервале $X$, то есть функция $f(x)$ отрицательна на этом интервале.
• Функция $f(x)$ возрастает на промежутке $X$, то есть для любых двух точек $x_1 < x_2$ выполняется:

  $$f(x_1) < f(x_2)$$

2. Определим монотонность функции $y = \frac{1}{f(x)}$:

Мы хотим показать, что $y = \frac{1}{f(x)}$ убывает на интервале $X$, т.е. для $x_1 < x_2$ должно быть:

$$y(x_1) > y(x_2)$$

или

$$\frac{1}{f(x_1)} > \frac{1}{f(x_2)}$$

3. Переход к доказательству:

Пусть $x_1 < x_2$. Поскольку $f(x)$ возрастает на интервале $X$, то:

$$f(x_1) < f(x_2) < 0$$

Теперь рассмотрим выражения для функции $y = \frac{1}{f(x)}$. Так как $f(x_1) < f(x_2)$, и $f(x)$ отрицателен на этом интервале, то:

$$-f(x_1) > -f(x_2) > 0$$

и

$$-\frac{1}{f(x_1)} < -\frac{1}{f(x_2)}$$

Что приводит нас к:

$$\frac{1}{f(x_1)} > \frac{1}{f(x_2)}$$

Это неравенство показывает, что при увеличении $x$ (при переходе от $x_1$ к $x_2$), значение функции $y = \frac{1}{f(x)}$ уменьшается, что и требовалось доказать.

Ответ: $y = \frac{1}{f(x)}$ убывает на промежутке $X$, если $f(x) < 0$ и $f(x)$ возрастает на этом интервале.