ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 81 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Население посёлка за два года увеличилось с 20 ООО до 22 050 человек. Найдите средний ежегодный процент роста населения города.

Пусть количество жителей ежегодно увеличивается на $x (\%)$, тогда:

$$\frac{100 + x}{100}$$

— во столько раз увеличивается их количество за год;

За 2 года число жителей возросло с 20 000 до 22 050 человек, значит:

$$20000 \cdot \left( \frac{100 + x}{100} \right)^2 = 22050;$$ $$20000 \cdot (1 + 0,01x)^2 = 22050;$$ $$(1 + 0,01x)^2 = \frac{22050}{20000};$$ $$1 + 0,01x = \sqrt{\frac{441}{400}};$$ $$0,01x = \frac{21}{20} — 1;$$ $$0,01x = \frac{1}{20};$$ $$x = \frac{1}{20} : 0,01 = \frac{100}{20} = 5 (\%);$$

Ответ: 5 процентов.

Дано:

1. Начальное население посёлка = 20 000 человек.
2. Конечное население посёлка через 2 года = 22 050 человек.
3. Необходимо найти средний ежегодный процент роста населения.

Шаг 1: Определение формулы для роста населения

Пусть ежегодный процент роста населения составит $x$ процентов.

При этом каждый год население увеличивается на $\frac{100 + x}{100}$ раз, что соответствует умножению на множитель $\left( \frac{100 + x}{100} \right)$.

Таким образом, за два года количество жителей увеличится следующим образом:

После первого года население станет $20000 \cdot \frac{100 + x}{100}$.

После второго года население будет равно $20000 \cdot \left( \frac{100 + x}{100} \right)^2$.

Шаг 2: Построение уравнения

Задача говорит, что через два года население стало 22 050 человек. Это можно записать как:

$$20000 \cdot \left( \frac{100 + x}{100} \right)^2 = 22050.$$

Шаг 3: Решение уравнения

Упростим уравнение:

$$\left( \frac{100 + x}{100} \right)^2 = \frac{22050}{20000}.$$ $$\left( \frac{100 + x}{100} \right)^2 = 1.1025.$$

Извлечем квадратный корень из обеих сторон:

$$\frac{100 + x}{100} = \sqrt{1.1025}.$$ $$\frac{100 + x}{100} = 1.05.$$

Умножим обе стороны на 100:

$$100 + x = 105.$$

Найдем $x$:

$$x = 105 — 100 = 5.$$

Ответ:

Средний ежегодный процент роста населения посёлка составляет 5%.