ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 83 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Первый банк даёт 5% годовых, а второй — 10%. Вкладчик часть своих денег положил в первый банк, а остальные — во второй. Через 2 года суммарное число вложенных денег увеличилось на 18,85%. Какую долю своих денег положил вкладчик в первый банк?

Вот точный переписанный текст, без изменений и добавлений:

Пусть $y$ — денег у вкладчика и $x$ — их доля в первом банке, тогда:

• $(1 — x)$ — доля денег вкладчика во втором банке;
• $xy$ — денег в первом банке;
• $y(1 — x)$ — денег во втором банке;

Сумма денег на счете в первом банке после двух увеличений на 5%:

$$xy \cdot \left(\frac{100 + 5}{100}\right)^2 = xy \cdot \left(\frac{105}{100}\right)^2 = xy \cdot \left(\frac{21}{20}\right)^2 = \frac{441xy}{400};$$

Сумма денег на счете в первом банке после двух увеличений на 10%:

$$y(1 — x) \left(\frac{100 + 10}{100}\right)^2 = y(1 — x) \left(\frac{110}{100}\right)^2 = y(1 — x) \left(\frac{11}{10}\right)^2 = \frac{121y(1 — x)}{100};$$

Через два года общая сумма денег увеличилась на 18,85%, то есть:

$$y \cdot \frac{100 + 18,85}{100} = y \cdot \frac{118,85}{100} = \frac{11885y}{10000} = \frac{2377y}{2000};$$

Составим и решим уравнение:

$$\frac{441xy}{400} + \frac{121y(1 — x)}{100} = \frac{2377y}{2000} \quad \bigg| \cdot \frac{100}{y};$$ $$\frac{441x}{4} + 121(1 — x) = \frac{2377}{20} \quad \bigg| \cdot 20;$$ $$5 \cdot 441x + 20 \cdot 121(1 — x) = 2377;$$ $$2205x + 2420 — 2420x = 2377;$$ $$-215x = -43;$$ $$x = \frac{43}{215} = \frac{1}{5} = 0,2;$$

Доля денег в первом банке в процентном соотношении:

$$0,2 \cdot 100\% = 20\%;$$

Ответ: 20 процентов.

Дано:

1. Вкладчик имеет сумму денег $y$.
2. Вкладчик положил часть своих денег в первый банк под 5% годовых, а оставшуюся часть во второй банк под 10% годовых.
3. Через два года общая сумма вложенных денег увеличилась на 18,85%.

Нужно найти, какую долю своих денег вкладчик положил в первый банк.

Обозначения:

• Пусть $x$ — доля денег, которую вкладчик положил в первый банк.
• Тогда $1 — x$ — доля денег, которую вкладчик положил во второй банк.
• Сумма денег у вкладчика — $y$.

1. Сумма денег, вложенных в первый и второй банки:

• В первом банке лежит сумма $xy$.
• Во втором банке лежит сумма $y(1 — x)$.

2. Процентные ставки:

• В первом банке ставка составляет 5% годовых.
• Во втором банке ставка составляет 10% годовых.

3. Сумма денег через два года в первом и втором банке:

Для первого банка, сумма через 2 года будет рассчитываться по формуле сложных процентов:

$$S_1 = xy \cdot \left( 1 + \frac{5}{100} \right)^2 = xy \cdot \left( \frac{105}{100} \right)^2 = xy \cdot \left( \frac{21}{20} \right)^2 = \frac{441xy}{400}$$

Для второго банка, сумма через 2 года будет рассчитываться по формуле сложных процентов:

$$S_2 = y(1 — x) \cdot \left( 1 + \frac{10}{100} \right)^2 = y(1 — x) \cdot \left( \frac{110}{100} \right)^2 = y(1 — x) \cdot \left( \frac{11}{10} \right)^2 = \frac{121y(1 — x)}{100}$$

4. Общая сумма через два года:

Общая сумма всех вложенных денег через два года — это сумма денег в первом и втором банках:

$$S_{\text{total}} = S_1 + S_2 = \frac{441xy}{400} + \frac{121y(1 — x)}{100}$$

Мы знаем, что общая сумма увеличилась на 18,85%. Это значит, что итоговая сумма через два года составляет 118,85% от начальной суммы $y$:

$$S_{\text{total}} = y \cdot \frac{100 + 18,85}{100} = y \cdot \frac{118,85}{100} = \frac{11885y}{10000} = \frac{2377y}{2000}$$

5. Составление уравнения:

Теперь составим уравнение, приравняв общую сумму через два года с тем, что мы нашли для суммы денег в первом и втором банке:

$$\frac{441xy}{400} + \frac{121y(1 — x)}{100} = \frac{2377y}{2000}$$

Чтобы избавиться от $y$, умножим обе части уравнения на $\frac{100}{y}$:

$$\frac{441x}{4} + 121(1 — x) = \frac{2377}{20}$$

6. Умножаем на 20, чтобы избавиться от дробей:

$$20 \cdot \left( \frac{441x}{4} + 121(1 — x) \right) = 2377$$ $$5 \cdot 441x + 20 \cdot 121(1 — x) = 2377$$ $$2205x + 2420 — 2420x = 2377$$

7. Упрощаем уравнение:

$$2205x — 2420x + 2420 = 2377$$ $$-215x + 2420 = 2377$$

Теперь вычитаем 2420 из обеих сторон:

$$-215x = 2377 — 2420$$ $$-215x = -43$$

8. Решаем для $x$:

$$x = \frac{-43}{-215} = \frac{43}{215} = \frac{1}{5} = 0,2$$

9. Доля денег, вложенных в первый банк:

Теперь, когда мы знаем $x = 0,2$, это означает, что вкладчик положил 20% своих денег в первый банк.

Ответ: $\boxed{20\%}$.