ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 84 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область определения функции

а) у = v(3-9x);

б) y = 1/v(5x+3);

в) y = v(36-x^2);

г) y = 1/v(4x^2 — 8x).

$y = \sqrt{3 — 9x}$;
Выражение имеет смысл при:
$3 — 9x \geq 0$;
$9x \leq 3$;
$x \leq \frac{3}{9}$, отсюда $x \leq \frac{1}{3}$;
Ответ: $D(x) = \left( -\infty; \frac{1}{3} \right]$.

$y = \sqrt{36 — x^2}$;
Выражение имеет смысл при:
$36 — x^2 \geq 0$;
$x^2 — 36 \leq 0$;
$(x + 6)(x — 6) \leq 0$;
$-6 \leq x \leq 6$;
Ответ: $D(x) = [-6; 6]$.

$y = \frac{1}{\sqrt{5x + 3}}$;
Выражение имеет смысл при:
$5x + 3 > 0$;
$5x > -3$;
$x > -\frac{3}{5}$, отсюда $x > -0,6$;
Ответ: $D(x) = (-0,6; +\infty)$.

$y = \frac{1}{\sqrt{4x^2 — 3x}}$;
Выражение имеет смысл при:
$4x^2 — 8x > 0$;
$x^2 — 2x > 0$;
$x(x — 2) > 0$;
$x < 0$ и $x > 2$;
Ответ: $D(x) = (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.

а) $y = \sqrt{3 — 9x}$

Для того чтобы выражение имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, т.е.

$$3 — 9x \geq 0$$

Решим это неравенство:

$$3 \geq 9x$$

Поделим обе части на 9:

$$x \leq \frac{1}{3}$$

Таким образом, область определения функции будет:

$$D(x) = (-\infty; \frac{1}{3}]$$

б) $y = \sqrt{36 — x^2}$

Для того чтобы выражение под корнем было корректным, нам нужно:

$$36 — x^2 \geq 0$$

Перепишем это неравенство:

$$x^2 \leq 36$$

Извлекаем корень с обеих сторон (с учетом положительных и отрицательных корней):

$$-6 \leq x \leq 6$$

Таким образом, область определения функции:

$$D(x) = [-6; 6]$$

в) $y = \frac{1}{\sqrt{5x + 3}}$

Здесь важно, чтобы знаменатель был положительным и ненулевым, то есть должны выполняться два условия:

1. $5x + 3 > 0$ (чтобы корень был определён)
2. Знаменатель не может быть равен нулю, то есть $5x + 3 \neq 0$.

Из первого условия:

$$5x + 3 > 0$$

Решаем неравенство для $x$:

$$x > -\frac{3}{5}$$

Таким образом, область определения функции:

$$D(x) = \left(-\frac{3}{5}, +\infty\right)$$

г) $y = \frac{1}{\sqrt{4x^2 — 8x}}$

Для того чтобы выражение имело смысл, нужно, чтобы знаменатель был положительным и ненулевым. То есть, необходимо решить неравенство:

$$4x^2 — 8x > 0$$

Преобразуем выражение:

$$4x(x — 2) > 0$$

Решим неравенство. Корни уравнения $4x(x — 2) = 0$ — это $x = 0$ и $x = 2$.

Используем метод знаков для решения неравенства:

• Интервал $x < 0$: выражение положительное.
• Интервал $0 < x < 2$: выражение отрицательное.
• Интервал $x > 2$: выражение положительное.

Таким образом, выражение будет положительным, когда $x < 0$ или $x > 2$.

Следовательно, область определения функции:

$$D(x) = (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$$

Итоговые ответы:

• $y = \sqrt{3 — 9x}$, область определения: $D(x) = (-\infty; \frac{1}{3}]$
• $y = \sqrt{36 — x^2}$, область определения: $D(x) = [-6; 6]$
• $y = \frac{1}{\sqrt{5x + 3}}$, область определения: $D(x) = (-\frac{3}{5}, +\infty)$
• $y = \frac{1}{\sqrt{4x^2 — 8x}}$, область определения: $D(x) = (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$