ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 86 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-2}}$;

б) $y=\sqrt{\frac{x+1}{x-2}}$

а) $y=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-2}}$;

Выражение имеет смысл при:

$$x+1\ge 0;$$$$x\ge -1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x-2>0;$$$$x>2;$$

Ответ: $D(x)=(2;+\mathrm{\infty })$.

б) $y=\sqrt{\frac{x+1}{x-2}}$;

Выражение имеет смысл при:

$$\frac{x+1}{x-2}\ge 0;$$$$(x+1)(x-2)\ge 0;$$$$x\le -1\text{ и }x>2;$$

Ответ: $D(x)=(-\mathrm{\infty };-1]\cup (2;+\mathrm{\infty })$.

Задача (а)

Дано выражение:

$$y=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-2}}\mathrm{.}$$

Чтобы найти область допустимых значений (ОДЗ), нужно учесть два условия, при которых выражение будет иметь смысл:

Корень в числителе $\sqrt{x+1}$ имеет смысл только тогда, когда выражение под корнем неотрицательно. То есть:

$$x+1\ge 0.$$

Из этого неравенства:

$$x\ge -1.$$

Это условие накладывает ограничение на $x$, что $x\ge -1$.

Корень в знаменателе $\sqrt{x-2}$ также должен быть определён, а кроме того, знаменатель не может быть равен нулю, так как деление на ноль невозможно. Таким образом, нужно учесть, что под корнем в знаменателе должно быть строго положительное число:

$$x-2>0.$$

Из этого неравенства:

$$x>2.$$

Это условие накладывает дополнительное ограничение на $x$, что $x>2$.

Объединение условий

Для того, чтобы оба условия выполнялись одновременно, необходимо найти пересечение двух областей:

• $x\ge -1$, что означает все значения $x$ от $-1$ до бесконечности.
• $x>2$, что означает все значения $x$ строго больше 2.

Таким образом, $x$ должно быть одновременно больше 2 и больше или равно -1. Пересечение этих двух условий даёт:

$$x>2.$$

Ответ: Область допустимых значений для выражения $y=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-2}}$ будет:

$$D(x)=(2;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

Задача (б)

Дано выражение:

$$y=\sqrt{\frac{x+1}{x-2}}\mathrm{.}$$

В этом случае, чтобы найти область допустимых значений, нужно учесть следующие условия:

Корень в целом выражении $\sqrt{\frac{x+1}{x-2}}$ существует только при условии, что выражение под корнем неотрицательно. То есть:

$$\frac{x+1}{x-2}\ge 0.$$

Нам нужно решить это неравенство.

Решение неравенства $\frac{x+1}{x-2}\ge 0$:

Для того чтобы дробь была неотрицательной, числитель и знаменатель должны быть одинакового знака (оба положительные или оба отрицательные).

• Рассмотрим числитель: $x+1$. Это выражение положительно, когда $x>-1$, и отрицательно, когда $x<-1$.
• Рассмотрим знаменатель: $x-2$. Это выражение положительно, когда $x>2$, и отрицательно, когда $x<2$.

Теперь определим, когда дробь $\frac{x+1}{x-2}$ будет положительной или равной нулю:

• Если $x+1\ge 0$ и $x-2>0$, то оба выражения положительные, то есть $x\ge -1$ и $x>2$. Это выполняется для $x>2$.
• Если $x+1\le 0$ и $x-2<0$, то оба выражения отрицательные, то есть $x\le -1$ и $x<2$. Это выполняется для $x\le -1$.

Таким образом, дробь $\frac{x+1}{x-2}\ge 0$ выполняется, когда:

$$x\le -1\text{или}x>2.$$

Ответ

Область допустимых значений (ОДЗ) для выражения $y=\sqrt{\frac{x+1}{x-2}}$ — это объединение двух интервалов:

$$D(x)=(-\mathrm{\infty };-1]\cup (2;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

Итоговое решение:

1. Для выражения $y=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-2}}$ область допустимых значений:$$D(x)=(2;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$
2. Для выражения $y=\sqrt{\frac{x+1}{x-2}}$ область допустимых значений:$$D(x)=(-\mathrm{\infty };-1]\cup (2;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$