ГДЗ Мордкович 10 Класс Профильный Уровень по Алгебре Задачник 📕 — Все Части

Алгебра Профильный Уровень

10 класс задачник профильный уровень Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 88 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Найдите, при каких значениях переменной имеет смысл выражение:

а) $\frac{\sqrt{3 - 5 x - 2 x^{2}}}{7 x}$ ;

б) $\frac{\sqrt{3 x^{2} - x + 14}}{2 x + 5}$ ;

в) $\frac{\sqrt{2 - 5 x - 3 x^{2}}}{9 x}$ ;

г) $\frac{\sqrt{3 x^{2} - 4 x - 15}}{7 - 2 x}$

Краткий ответ:

а) $\frac{\sqrt{3 - 5 x - 2 x^{2}}}{7 x}$ ;

Выражение имеет смысл при:

$3 - 5 x - 2 x^{2} \geq 0;$ $2 x^{2} + 5 x - 3 \leq 0;$ $D = 5^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 + 24 = 49, тогда:$ $x_{1} = \frac{- 5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{- 12}{4} = - 3;$ $x_{2} = \frac{- 5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0, 5;$ $(x + 3) (x - 0, 5) \leq 0;$ $- 3 \leq x \leq 0, 5;$

Выражение имеет смысл при:

$7 x \neq 0, отсюда x \neq 0;$

Ответ: $x \in [- 3; 0) \cup (0; 0, 5]$ .

б) $\frac{\sqrt{3 x^{2} - x + 14}}{2 x + 5}$ ;

Выражение имеет смысл при:

$3 x^{2} - x + 14 \geq 0;$ $D = 1^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 14 = 1 + 168 = 169, тогда:$ $x_{1} = \frac{1 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{- 12}{6} = - 2;$ $x_{2} = \frac{1 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} = 2 \frac{1}{3};$ $(x + 2) (x - 2 \frac{1}{3}) \geq 0;$ $x \leq - 2 и x \geq 2 \frac{1}{3};$

Выражение имеет смысл при:

$2 x + 5 \neq 0;$ $2 x \neq - 5, отсюда x \neq - 2, 5;$

Ответ: $x \in (- \infty; - 2, 5) \cup (- 2, 5; - 2] \cup [2 \frac{1}{3}; + \infty)$ .

в) $\frac{\sqrt{2 - 5 x - 3 x^{2}}}{9 x}$ ;

Выражение имеет смысл при:

$2 - 5 x - 3 x^{2} \geq 0;$ $3 x^{2} + 5 x - 2 \leq 0;$ $D = 5^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 + 24 = 49, тогда:$ $x_{1} = \frac{- 5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{- 12}{6} = - 2;$ $x_{2} = \frac{- 5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3};$ $(x + 2) (x - \frac{1}{3}) \leq 0;$ $- 2 \leq x \leq \frac{1}{3};$

Выражение имеет смысл при:

$9 x \neq 0, отсюда x \neq 0;$

Ответ: $x \in [- 2; 0) \cup (0; \frac{1}{3}]$ .

г) $\frac{\sqrt{3 x^{2} - 4 x - 15}}{7 - 2 x}$ ;

Выражение имеет смысл при:

$3 x^{2} - 4 x - 15 \geq 0;$ $D = 4^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 15 = 16 + 180 = 196, тогда:$ $x_{1} = \frac{4 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{- 10}{6} = - \frac{5}{3} = - 1 \frac{2}{3};$ $x_{2} = \frac{4 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3;$ $(x + 1 \frac{2}{3}) (x - 3) \geq 0;$ $x \leq - 1 \frac{2}{3} и x \geq 3;$

Выражение имеет смысл при:

$7 - 2 x \neq 0;$ $2 x \neq 7, отсюда x \neq 3, 5;$

Ответ: $x \in (- \infty; - 1 \frac{2}{3}] \cup [3; 3, 5) \cup (3, 5; + \infty)$ .

Подробный ответ:

а) $\frac{\sqrt{3 - 5 x - 2 x^{2}}}{7 x}$ ;

1) Выражение имеет смысл при:

Чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы числитель был определен (корень из неотрицательного числа) и знаменатель не был равен нулю. Таким образом, нам нужно решить две задачи:

1.1. $3 - 5 x - 2 x^{2} \geq 0$ — чтобы выражение под корнем было неотрицательным.

1.2. $7 x \neq 0$ — чтобы знаменатель не был равен нулю.

Решение неравенства $3 - 5 x - 2 x^{2} \geq 0$ :

Перепишем неравенство:

$3 - 5 x - 2 x^{2} \geq 0$

Переведем его в стандартный вид для решения:

$- 2 x^{2} - 5 x + 3 \geq 0$

Умножим обе части неравенства на $- 1$ (не забывая, что знак неравенства меняется):

$2 x^{2} + 5 x - 3 \leq 0$

Теперь решим квадратное неравенство $2 x^{2} + 5 x - 3 \leq 0$ с помощью дискриминанта и формулы для корней.

Дискриминант:

$D = b^{2} - 4 a c$

где $a = 2$ , $b = 5$ , $c = - 3$ .

Вычислим дискриминант:

$D = 5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3) = 25 + 24 = 49$

Корни уравнения:

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{- 5 - 7}{4} = \frac{- 12}{4} = - 3$ $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{- 5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = 0, 5$

Таким образом, корни квадратного уравнения $2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$ — это $x_{1} = - 3$ и $x_{2} = 0, 5$ .

Теперь определим знаки выражения $2 x^{2} + 5 x - 3$ на промежутках, полученных из корней:

$x \in (- \infty, - 3)$ — подставим $x = - 4$ в $2 x^{2} + 5 x - 3$ : $2 (- 4)^{2} + 5 (- 4) - 3 = 2 (16) - 20 - 3 = 32 - 20 - 3 = 9 > 0$
$x \in (- 3, 0, 5)$ — подставим $x = 0$ в $2 x^{2} + 5 x - 3$ : $2 (0)^{2} + 5 (0) - 3 = - 3 < 0$
$x \in (0, 5, + \infty)$ — подставим $x = 1$ в $2 x^{2} + 5 x - 3$ : $2 (1)^{2} + 5 (1) - 3 = 2 + 5 - 3 = 4 > 0$

Таким образом, выражение $2 x^{2} + 5 x - 3$ будет отрицательным на промежутке $(- 3, 0, 5)$ .

Итак, неравенство $2 x^{2} + 5 x - 3 \leq 0$ выполняется при $x \in [- 3, 0, 5]$ .

Условие $7 x \neq 0$ даёт $x \neq 0$ .

Таким образом, окончательное условие: $x \in [- 3, 0) \cup (0, 0, 5]$ .

Ответ: $x \in [- 3, 0) \cup (0, 0, 5]$ .

2) Выражение имеет смысл при $7 x \neq 0$ .

Это условие означает, что $x \neq 0$ , так как знаменатель не может быть равен нулю.

б) $\frac{\sqrt{3 x^{2} - x + 14}}{2 x + 5}$ ;

1) Выражение имеет смысл при:

Числитель должен быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю. Мы решим две задачи:

1.1. $3 x^{2} - x + 14 \geq 0$ — для того, чтобы выражение под корнем было неотрицательным.

1.2. $2 x + 5 \neq 0$ — для того, чтобы знаменатель не был равен нулю.

Решение неравенства $3 x^{2} - x + 14 \geq 0$ :

Посмотрим на дискриминант квадратного уравнения:

$D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 1 - 168 = - 167$

Так как дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней, и поскольку коэффициент $a = 3 > 0$ , парабола $3 x^{2} - x + 14$ открывается вверх и всегда положительна для всех $x$ .

Следовательно, $3 x^{2} - x + 14 \geq 0$ выполняется для всех $x$ .

Условие $2 x + 5 \neq 0$ даёт $x \neq - 2, 5$ .

Таким образом, окончательное условие: $x \in (- \infty, - 2, 5) \cup (- 2, 5, + \infty)$ .

Ответ: $x \in (- \infty, - 2, 5) \cup (- 2, 5, + \infty)$ .

в) $\frac{\sqrt{2 - 5 x - 3 x^{2}}}{9 x}$ ;

1) Выражение имеет смысл при:

Аналогично предыдущему случаю, нам нужно решить две задачи:

1.1. $2 - 5 x - 3 x^{2} \geq 0$ — для числителя.

1.2. $9 x \neq 0$ — для знаменателя.

Решение неравенства $2 - 5 x - 3 x^{2} \geq 0$ :

Перепишем неравенство:

$2 - 5 x - 3 x^{2} \geq 0$

Переводим в стандартный вид:

$- 3 x^{2} - 5 x + 2 \geq 0$

Умножаем обе части на $- 1$ :

$3 x^{2} + 5 x - 2 \leq 0$

Теперь решим квадратное неравенство $3 x^{2} + 5 x - 2 \leq 0$ .

Дискриминант:

$D = 5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 2) = 25 + 24 = 49$

Корни уравнения:

$x_{1} = \frac{- 5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{- 5 - 7}{6} = \frac{- 12}{6} = - 2$ $x_{2} = \frac{- 5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{- 5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Итак, неравенство $3 x^{2} + 5 x - 2 \leq 0$ выполняется на промежутке $[- 2, \frac{1}{3}]$ .

Условие $9 x \neq 0$ даёт $x \neq 0$ .

Таким образом, окончательное условие: $x \in [- 2, 0) \cup (0, \frac{1}{3}]$ .

Ответ: $x \in [- 2, 0) \cup (0, \frac{1}{3}]$ .

г) $\frac{\sqrt{3 x^{2} - 4 x - 15}}{7 - 2 x}$ ;

1) Выражение имеет смысл при:

Аналогично, нам нужно решить две задачи:

1.1. $3 x^{2} - 4 x - 15 \geq 0$ — для числителя.

1.2. $7 - 2 x \neq 0$ — для знаменателя.

Решение неравенства $3 x^{2} - 4 x - 15 \geq 0$ :

Дискриминант:

$D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 15) = 16 + 180 = 196$

Корни уравнения:

$x_{1} = \frac{- (- 4) - \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 14}{6} = \frac{- 10}{6} = - \frac{5}{3}$ $x_{2} = \frac{- (- 4) + \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 14}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Неравенство $3 x^{2} - 4 x - 15 \geq 0$ выполняется при $x \leq - \frac{5}{3}$ или $x \geq 3$ .

Условие $7 - 2 x \neq 0$ даёт $x \neq 3, 5$ .

Таким образом, окончательное условие: $x \in (- \infty, - \frac{5}{3}] \cup [3, 3, 5) \cup (3, 5, + \infty)$

Ответ: $x \in (- \infty, - \frac{5}{3}] \cup [3, 3, 5) \cup (3, 5, + \infty)$ .

Оцени решение