ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Функция у = f(x) — периодическая, с периодом T = 2. Известно, что f(0). Вычислите:

а) f(2);

б) f(-22);

в) f(12k + 8) , где k — некоторое целое число;

г) f(4 — 8k) , где k — некоторое целое число.

Функция $y = f(x)$ — периодическая с периодом $T = 2$;

Известно значение $f(0)$;

а) $f(2) = f(T) = f(0 + T) = f(0)$;

б) $f(-22) = f(-11 \cdot 2) = f(-11T) = f(0 — 11T) = f(0)$;

в) $f(12k + 8)$, где $k$ — некоторое целое число;

$f(12k + 8) = f(6k \cdot 2 + 4 \cdot 2) = f((6k + 4) \cdot 2) = f((6k + 4)T)$;

$f(12k + 8) = f(0 + (6k + 4)T) = f(0)$;

г) $f(4 — 8k)$, где $k$ — некоторое целое число;

$f(4 — 8k) = f(2 \cdot 2 — 4k \cdot 2) = f((2 — 4k) \cdot 2) = f((2 — 4k)T)$;

$f(4 — 8k) = f(0 + (2 — 4k)T) = f(0)$;

Функция $y = f(x)$ — периодическая с периодом $T = 2$;
Это означает, что для всех значений $x$ выполняется равенство:

$$f(x + T) = f(x),$$

где $T = 2$. То есть, функция повторяется каждые 2 единицы на оси $x$.

Известно значение $f(0)$;

Нам дано, что значение функции в точке $x = 0$ равно $f(0)$. Все дальнейшие вычисления будут опираться на этот факт, так как для периодической функции значения в точках, отличающихся на целые кратные периода, равны.

а) $f(2) = f(T) = f(0 + T) = f(0)$

Здесь мы рассматриваем значение функции в точке $x = 2$.

1. Мы знаем, что период функции равен $T = 2$.
2. $f(2)$ можно выразить как $f(0 + T)$, то есть значение функции в точке 2 будет равно значению функции в точке 0, так как:

   $$f(2) = f(0 + 2) = f(0),$$

   так как для периодической функции выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$ для любого $x$.

Ответ:

$$f(2) = f(0).$$

б) $f(-22) = f(-11 \cdot 2) = f(-11T) = f(0 — 11T) = f(0)$

Здесь рассматриваем значение функции в точке $x = -22$.

1. $-22$ можно записать как $-11 \cdot 2$, то есть $x = -22$ — это $-11$ периодов функции.
2. Из периодичности функции $f(x + T) = f(x)$ получаем, что:

   $$f(-22) = f(-11 \cdot 2) = f(-11T).$$

3. Периодичность функции также позволяет переписать это как $f(0 — 11T)$. То есть для $x = -22$ значение функции будет равно значению функции в точке 0:

   $$f(-22) = f(0).$$

Ответ:

$$f(-22) = f(0).$$

в) $f(12k + 8)$, где $k$ — некоторое целое число

Здесь рассматриваем значение функции в точке $x = 12k + 8$, где $k$ — целое число.

1. Мы знаем, что $T = 2$, то есть период функции.
2. Разделим выражение для $x = 12k + 8$ на множители:

   $$12k + 8 = (6k \cdot 2) + (4 \cdot 2).$$

3. Мы видим, что можно сгруппировать два множителя $2$ для записи в виде:

   $$f(12k + 8) = f\left( (6k + 4) \cdot 2 \right) = f((6k + 4)T).$$

4. Периодичность функции $f(x + T) = f(x)$ позволяет заключить:

   $$f(12k + 8) = f\left( 0 + (6k + 4)T \right) = f(0).$$

Ответ:

$$f(12k + 8) = f(0).$$

г) $f(4 — 8k)$, где $k$ — некоторое целое число

Здесь рассматриваем значение функции в точке $x = 4 — 8k$, где $k$ — целое число.

1. Разделим выражение для $x = 4 — 8k$ на множители:

   $$4 — 8k = (2 \cdot 2) — (4k \cdot 2).$$

2. Мы видим, что можно записать это как:

   $$f(4 — 8k) = f\left( (2 — 4k) \cdot 2 \right) = f((2 — 4k)T).$$

3. Периодичность функции снова позволяет записать:

   $$f(4 — 8k) = f(0 + (2 — 4k)T) = f(0).$$

Ответ:

$$f(4 — 8k) = f(0).$$

Общий вывод:

Мы использовали свойство периодичности функции $f(x + T) = f(x)$, где $T = 2$, чтобы найти значения функции для различных точек, отличающихся на целые кратные периода от точки $x = 0$. В каждом случае результат равен $f(0)$, так как значения функции в точках, которые отличаются на целые кратные периода, одинаковы.

Итоговые ответы:

• $f(2) = f(0)$,
• $f(-22) = f(0)$,
• $f(12k + 8) = f(0)$,
• $f(4 — 8k) = f(0)$.