ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что если период функции $y = f(x)$ равен $T$, то:

а) период функции $y = k \cdot f(x + a) + b$ (при $k \neq 0$) равен $T$;

б) период функции $y = k \cdot f(px + a) + b$ (при $pk \neq 0$) равен $\frac{T}{|p|}$.

а) Пусть дана функция $y = f(x)$ с периодом $T_1 = T$, тогда:

Найдем период функции $y = f(x + a)$:

$$f((x + T_2) + a) = f(x + a);$$ $$f((x + a) \pm T_2) = f(x + a);$$ $$T_2 = T_1 = T;$$

Остальные величины не являются переменными в функции $y = k \cdot f(x + a) + b$, значит число $T_2 = T$ является ее периодом, что и требовалось доказать.

б) Пусть дана функция $y = f(x)$ с периодом $T_1 = T$, тогда:

Найдем период функции $y = f(px + a)$:

$$f(p(x \pm T_2) + a) = f(px + a);$$ $$f((px + a) \pm pT_2) = f(px + a);$$ $$|pT_2| = T_1;$$ $$T_2 = \frac{|T_1|}{|p|} = \frac{T}{|p|};$$

Остальные величины не являются переменными в функции $y = k \cdot f(px + a) + b$, значит число $T_2 = \frac{T}{|p|}$ является ее периодом, что и требовалось доказать.

а) Пусть дана функция $y = f(x)$ с периодом $T_1 = T$, тогда:

Период функции $f(x)$ означает, что для любого $x$ выполняется:

$$f(x + T) = f(x).$$

Мы ищем период функции, которая имеет вид $y = f(x + a)$, то есть функция сдвигается на $a$ по оси $x$. Нужно показать, что её период $T_2$ равен $T$, то есть период не меняется.

Шаг 1: Рассмотрим функцию $y(x) = f(x + a)$. Пусть мы хотим найти период этой функции. Период функции $y(x)$ означает, что для любого $x$ выполняется:

$$y(x + T_2) = y(x).$$

Подставим $y(x) = f(x + a)$:

$$f((x + T_2) + a) = f(x + a).$$

Таким образом, чтобы период функции не изменился, выражение $(x + T_2) + a$ должно совпадать с $x + a$ по свойству периодичности функции $f(x)$.

Шаг 2: Теперь подставим $x + a$ в обе стороны:

$$f((x + a) + T_2) = f(x + a).$$

Из того, что $f(x)$ имеет период $T$, мы знаем, что $f(x + T) = f(x)$ для любого $x$. Это означает, что:

$$T_2 = T.$$

Следовательно, период функции $y(x) = f(x + a)$ равен $T_2 = T$.

Шаг 3: Рассмотрим теперь функцию $y = k \cdot f(x + a) + b$, где $k$ и $b$ — константы. Множители и константы не изменяют период функции. Таким образом, период этой функции будет также $T_2 = T$, так как они не влияют на периодичность функции $f(x + a)$.

Ответ: Число $T_2 = T$ является периодом функции $y = k \cdot f(x + a) + b$, что и требовалось доказать.

б) Пусть дана функция $y = f(x)$ с периодом $T_1 = T$, тогда:

Теперь рассматриваем функцию $y = f(px + a)$, где $p$ — некоторое постоянное число, а $a$ — сдвиг. Нужно найти её период $T_2$.

Шаг 1: Рассмотрим функцию $y(x) = f(px + a)$. Нам нужно найти период $T_2$, чтобы выполнялось:

$$y(x + T_2) = y(x).$$

Подставляем $y(x) = f(px + a)$:

$$f(p(x + T_2) + a) = f(px + a).$$

Рассмотрим левую часть:

$$f(p(x + T_2) + a) = f(px + pT_2 + a).$$

Таким образом, чтобы левая и правая части равенства совпали, нам нужно, чтобы выражение внутри функции $f$ изменилось на $T_2$, то есть:

$$px + pT_2 + a = px + a.$$

Поэтому:

$$pT_2 = T_1.$$

Шаг 2: Подставим $T_1 = T$:

$$pT_2 = T.$$

Решим это уравнение относительно $T_2$:

$$T_2 = \frac{T}{|p|}.$$

Мы взяли абсолютное значение $p$, потому что период функции всегда положителен, независимо от знака $p$.

Шаг 3: Теперь проверим, что для функции $y = k \cdot f(px + a) + b$, где $k$ и $b$ — константы, период функции не изменится. Как и в предыдущем случае, множители и константы не влияют на период, так как они не изменяют характер повторяющихся значений функции. Следовательно, период функции $y = k \cdot f(px + a) + b$ будет также равен $T_2 = \frac{T}{|p|}$.

Ответ: Число $T_2 = \frac{T}{|p|}$ является периодом функции $y = k \cdot f(px + a) + b$, что и требовалось доказать.

Итог:

1. Для функции $y = f(x + a)$ период остаётся таким же, как у исходной функции, то есть $T_2 = T$.
2. Для функции $y = f(px + a)$ период изменяется, и новый период равен $T_2 = \frac{T}{|p|}$.