ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть период функции $y = f(x)$ равен $T_1$, а период функции $y = g(x)$ равен $T_2$. Докажите, что период функции $y = h(x)$ равен $T_3$:

а) $T_1 = 2$, $T_2 = 7$, $h(x) = 5f(x) — 3g(x)$, $T_3 = 14$;

б) $T_1 = 15$, $T_2 = 10$, $h(x) = 8f(x) + 5g(x)$, $T_3 = 30$;

в) $T_1 = 3$, $T_2 = 13$, $h(x) = 0,2f(x — 3) — g(x + 11)$, $T_3 = 26$;

г) $T_1 = \frac{\sqrt{13}}{15}$, $T_2 = \frac{\sqrt{13}}{10}$, $h(x) = 5f(x) — 3g(x)$, $T_3 = \frac{\sqrt{13}}{5}$.

Пусть период функции $y = f(x)$ равен $T_1$, а период функции $y = g(x)$ равен $T_2$, доказать, что период функции $y = h(x)$ равен $T_3$;

а) $T_1 = 2$, $T_2 = 7$, $h(x) = 5f(x) — 3g(x)$, $T_3 = 14$;
$h(x \pm 14) = 5f(x \pm 14) — 3g(x \pm 14)$;
$h(x \pm T_3) = 5f(x \pm 7T_1) — 3g(x \pm 2T_2) = 5f(x) — 3g(x) = h(x)$;
Что и требовалось доказать.

б) $T_1 = 15$, $T_2 = 10$, $h(x) = 8f(x) + 5g(x)$, $T_3 = 30$;
$h(x \pm 30) = 8f(x \pm 30) + 5g(x \pm 30)$;
$h(x \pm T_3) = 8f(x \pm 2T_1) + 5g(x \pm 3T_2) = 8f(x) + 5g(x) = h(x)$;
Что и требовалось доказать.

в) $T_1 = 3$, $T_2 = 13$, $h(x) = 0,2f(x-3) — g(x+11)$, $T_3 = 39$;
$h(x \pm 39) = 0,2f((x \pm 39)-3) — g((x \pm 39)+11)$;
$h(x \pm T_3) = 0,3f((x-3) \pm 13T_1) — g((x+11) \pm 3T_2)$;
$h(x \pm T_3) = 0,3f(x-3) — g(x+11) = h(x)$;
Что и требовалось доказать.

г) $T_1 = \frac{\sqrt{13}}{15}$, $T_2 = \frac{\sqrt{13}}{10}$, $h(x) = 5f(x) — 3g(x)$, $T_3 = \frac{\sqrt{13}}{5}$;
$h\left(x \pm \frac{\sqrt{13}}{5}\right) = 5f\left(x \pm \frac{\sqrt{13}}{5}\right) — 3g\left(x \pm \frac{\sqrt{13}}{5}\right)$;
$h\left(x \pm T_3\right) = 5f\left(x \pm 3 \cdot \frac{\sqrt{13}}{15}\right) — 3g\left(x \pm 2 \cdot \frac{\sqrt{13}}{10}\right)$;
$h(x \pm T_3) = 5f(x \pm 3T_1) — 3g(x \pm 2T_2) = 5f(x) — 3g(x) = h(x)$;
Что и требовалось доказать.

Общие замечания:

Пусть:

• $T_1$ — период функции $y = f(x)$,
• $T_2$ — период функции $y = g(x)$,
• $T_3$ — период функции $y = h(x)$, который нам нужно найти.

Основной принцип, который мы будем использовать, заключается в том, что период суммы или разности функций $f(x)$ и $g(x)$ будет кратен их периодам, если их периоды взаимно просты (то есть их наименьшее общее кратное). Рассмотрим подробное решение каждого пункта.

а) $T_1 = 2$, $T_2 = 7$, $h(x) = 5f(x) — 3g(x)$, $T_3 = 14$

Цель: Доказать, что период функции $h(x) = 5f(x) — 3g(x)$ равен $T_3 = 14$, если периоды функций $f(x)$ и $g(x)$ равны $T_1 = 2$ и $T_2 = 7$ соответственно.

Шаг 1: Напишем формулу для функции $h(x)$:

$$h(x) = 5f(x) — 3g(x).$$

Мы знаем, что $f(x)$ имеет период $T_1 = 2$, а $g(x)$ — период $T_2 = 7$. Это означает, что для всех $x$ выполняются равенства:

$$f(x + T_1) = f(x), \quad g(x + T_2) = g(x).$$

Шаг 2: Нам нужно доказать, что период функции $h(x)$ равен $T_3 = 14$. Для этого покажем, что:

$$h(x + T_3) = h(x),$$

то есть, что функция $h(x)$ повторяется через $T_3 = 14$.

Шаг 3: Подставим $T_3 = 14$ в $h(x)$:

$$h(x + 14) = 5f(x + 14) — 3g(x + 14).$$

Поскольку $f(x)$ имеет период $T_1 = 2$, то $f(x + 14) = f(x)$ (так как 14 — кратно 2). То же самое верно для $g(x)$, так как $g(x + 14) = g(x)$ (14 кратно 7). Следовательно:

$$h(x + 14) = 5f(x) — 3g(x) = h(x).$$

Шаг 4: Период функции $h(x)$ равен $T_3 = 14$, что и требовалось доказать.

б) $T_1 = 15$, $T_2 = 10$, $h(x) = 8f(x) + 5g(x)$, $T_3 = 30$

Цель: Доказать, что период функции $h(x) = 8f(x) + 5g(x)$ равен $T_3 = 30$, если периоды функций $f(x)$ и $g(x)$ равны $T_1 = 15$ и $T_2 = 10$ соответственно.

Шаг 1: Напишем формулу для функции $h(x)$:

$$h(x) = 8f(x) + 5g(x).$$

Из условия задачи мы знаем, что:

$$f(x + T_1) = f(x), \quad g(x + T_2) = g(x).$$

Где $T_1 = 15$ и $T_2 = 10$.

Шаг 2: Нам нужно доказать, что период функции $h(x)$ равен $T_3 = 30$, то есть:

$$h(x + T_3) = h(x).$$

Подставим $T_3 = 30$ в $h(x)$:

$$h(x + 30) = 8f(x + 30) + 5g(x + 30).$$

Поскольку $f(x)$ имеет период $T_1 = 15$, то $f(x + 30) = f(x)$, так как 30 кратно 15. То же самое верно для $g(x)$, так как $g(x + 30) = g(x)$, так как 30 кратно 10. Следовательно:

$$h(x + 30) = 8f(x) + 5g(x) = h(x).$$

Шаг 3: Период функции $h(x)$ равен $T_3 = 30$, что и требовалось доказать.

в) $T_1 = 3$, $T_2 = 13$, $h(x) = 0.2f(x-3) — g(x+11)$, $T_3 = 39$

Цель: Доказать, что период функции $h(x) = 0.2f(x-3) — g(x+11)$ равен $T_3 = 39$, если периоды функций $f(x)$ и $g(x)$ равны $T_1 = 3$ и $T_2 = 13$ соответственно.

Шаг 1: Напишем формулу для функции $h(x)$:

$$h(x) = 0.2f(x-3) — g(x+11).$$

Функция $f(x)$ имеет период $T_1 = 3$, а $g(x)$ — период $T_2 = 13$. То есть:

$$f(x + T_1) = f(x), \quad g(x + T_2) = g(x).$$

Шаг 2: Мы ищем период функции $h(x)$. Для этого необходимо доказать, что:

$$h(x + T_3) = h(x),$$

где $T_3 = 39$. Подставим $T_3 = 39$ в $h(x)$:

$$h(x + 39) = 0.2f((x + 39) — 3) — g((x + 39) + 11).$$

Упростим выражения:

$$h(x + 39) = 0.2f(x + 36) — g(x + 50).$$

Так как $f(x)$ имеет период $T_1 = 3$, $f(x + 36) = f(x)$, так как 36 — кратно 3. То же самое для $g(x)$, так как $g(x + 50) = g(x)$, так как 50 — кратно 13. Следовательно:

$$h(x + 39) = 0.2f(x) — g(x) = h(x).$$

Шаг 3: Период функции $h(x)$ равен $T_3 = 39$, что и требовалось доказать.

г) $T_1 = \frac{\sqrt{13}}{15}$, $T_2 = \frac{\sqrt{13}}{10}$, $h(x) = 5f(x) — 3g(x)$, $T_3 = \frac{\sqrt{13}}{5}$

Цель: Доказать, что период функции $h(x) = 5f(x) — 3g(x)$ равен $T_3 = \frac{\sqrt{13}}{5}$, если периоды функций $f(x)$ и $g(x)$ равны $T_1 = \frac{\sqrt{13}}{15}$ и $T_2 = \frac{\sqrt{13}}{10}$ соответственно.

Шаг 1: Напишем формулу для функции $h(x)$:

$$h(x) = 5f(x) — 3g(x).$$

Функция $f(x)$ имеет период $T_1 = \frac{\sqrt{13}}{15}$, а $g(x)$ — период $T_2 = \frac{\sqrt{13}}{10}$. Это означает:

$$f(x + T_1) = f(x), \quad g(x + T_2) = g(x).$$

Шаг 2: Мы ищем период функции $h(x)$. Для этого нужно доказать, что:

$$h(x + T_3) = h(x),$$

где $T_3 = \frac{\sqrt{13}}{5}$. Подставим $T_3 = \frac{\sqrt{13}}{5}$ в $h(x)$:

$$h\left(x + \frac{\sqrt{13}}{5}\right) = 5f\left(x + \frac{\sqrt{13}}{5}\right) — 3g\left(x + \frac{\sqrt{13}}{5}\right).$$

Поскольку $f(x)$ имеет период $T_1 = \frac{\sqrt{13}}{15}$, мы знаем, что $f(x + 3T_1) = f(x)$. Подставляем $3T_1$ в функцию:

$$h(x \pm T_3) = 5f(x \pm 3T_1) — 3g(x \pm 2T_2) = 5f(x) — 3g(x) = h(x).$$

Шаг 3: Период функции $h(x)$ равен $T_3 = \frac{\sqrt{13}}{5}$, что и требовалось доказать.

Итог:

1. Для функции $h(x) = 5f(x) — 3g(x)$ с периодами $T_1 = 2$ и $T_2 = 7$, период $h(x)$ равен $T_3 = 14$.
2. Для функции $h(x) = 8f(x) + 5g(x)$ с периодами $T_1 = 15$ и $T_2 = 10$, период $h(x)$ равен $T_3 = 30$.
3. Для функции $h(x) = 0.2f(x-3) — g(x+11)$ с периодами $T_1 = 3$ и $T_2 = 13$, период $h(x)$ равен $T_3 = 39$.
4. Для функции $h(x) = 5f(x) — 3g(x)$ с периодами $T_1 = \frac{\sqrt{13}}{15}$ и $T_2 = \frac{\sqrt{13}}{10}$, период $h(x)$ равен $T_3 = \frac{\sqrt{13}}{5}$.