ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть для любого x из области определения функции у = f(x) выполняется равенство f(x — 0,1) = f(x + 0,1) = f(x). Докажите, что тогда для любого x из области определения функции выполняется равенство f(x — 2) = f(x + 2) = f(x).

Пусть для любого $x$ из области определения функции $y = f(x)$ верно:

$f(x — 0,1) = f(x + 0,1) = f(x);$

Число $T = 0,1$ является периодом функции по определению, значит:

$f(x — 2) = f(x — 20 \cdot 0,1) = f(x — 20T) = f(x);$
$f(x + 2) = f(x + 20 \cdot 0,1) = f(x + 20T) = f(x);$
$f(x — 2) = f(x) = f(x + 2);$

Что и требовалось доказать.

Пусть для любого $x$ из области определения функции $y = f(x)$ верно:

$$f(x — 0,1) = f(x + 0,1) = f(x).$$

Число $T = 0,1$ является периодом функции $f(x)$, и нам нужно доказать, что для всех $x$ выполняются следующие равенства:

$$f(x — 2) = f(x) = f(x + 2).$$

Решение:

Шаг 1: Объяснение, что такое период функции.

Сначала напомню, что функция называется периодической с периодом $T$, если для всех $x$ из области определения функции выполняется равенство:

$$f(x + T) = f(x).$$

Это означает, что график функции $f(x)$ будет повторяться с шагом $T$. В данном случае, нам сказано, что функция $f(x)$ имеет период $T = 0,1$, то есть для всех $x$ выполняется следующее равенство:

$$f(x — 0,1) = f(x) = f(x + 0,1).$$

Это означает, что если мы смещаем график функции $f(x)$ на 0,1 вправо или влево, то значение функции остаётся неизменным.

Шаг 2: Переводим выражение для $f(x — 2)$ и $f(x + 2)$.

Теперь нам нужно доказать, что:

$$f(x — 2) = f(x) = f(x + 2).$$

Используем периодичность функции с периодом $T = 0,1$. Мы будем разлагать смещения $x — 2$ и $x + 2$ на более мелкие шаги $0,1$.

Шаг 3: Выражение для $f(x — 2)$.

Для того чтобы выразить $f(x — 2)$, начнем с того, что:

$$f(x — 2) = f\left(x — 20 \cdot 0,1\right).$$

То есть мы представляем сдвиг на 2 как 20 сдвигов на 0,1. Поскольку $f(x)$ имеет период $T = 0,1$, то для любого $x$ верно:

$$f(x — 20 \cdot 0,1) = f(x).$$

Таким образом:

$$f(x — 2) = f(x).$$

Шаг 4: Выражение для $f(x + 2)$.

Аналогично для выражения $f(x + 2)$, мы можем представить сдвиг на 2 как 20 сдвигов на 0,1:

$$f(x + 2) = f\left(x + 20 \cdot 0,1\right).$$

Так как $f(x)$ периодична с периодом $T = 0,1$, то также верно:

$$f(x + 20 \cdot 0,1) = f(x).$$

Таким образом:

$$f(x + 2) = f(x).$$

Шаг 5: Заключение.

Теперь, мы доказали, что для всех $x$ верны следующие равенства:

$$f(x — 2) = f(x) = f(x + 2).$$

И это завершающий шаг доказательства.

Что мы доказали:

Мы показали, что если функция $f(x)$ периодична с периодом $T = 0,1$, то для всех $x$ выполняются равенства:

$$f(x — 2) = f(x) = f(x + 2),$$

то есть сдвиг функции на 2 вправо или влево не изменяет её значения.

Это и требовалось доказать.