ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть для любого x из области определения функции у = f(x) выполняются равенства f(x — 3) = f(x + 3) = f(x) и f(x — 5) = f(x + 5) = f(x). Докажите, что для любого x из области определения функции выполняется равенство f(x — 2) = f(x + 2) = f(x).

Пусть для любого $x$ из области определения функции $y = f(x)$ верно:

$$f(x-3) = f(x+3) = f(x);$$ $$f(x-5) = f(x+5) = f(x);$$

Числа $T_1 = 3$ и $T_2 = 5$ являются периодами данной функции, значит:

$$f(x-2) = f((x+3)-5) = f((x+T_1)-T_2) = f(x+T_1) = f(x);$$ $$f(x+2) = f((x+5)-3) = f((x+T_2)-T_1) = f(x+T_2) = f(x);$$ $$f(x-2) = f(x) = f(x+2);$$

Что и требовалось доказать.

Дано, что для любого $x$ из области определения функции $y = f(x)$ выполняются следующие равенства:

$$f(x-3) = f(x+3) = f(x);$$ $$f(x-5) = f(x+5) = f(x);$$

Значит, функция $f(x)$ имеет два периода: $T_1 = 3$ и $T_2 = 5$.

Нужно доказать, что:

$$f(x-2) = f(x) = f(x+2).$$

Шаг 1: Интерпретация периода функции

Прежде чем начать доказательство, важно напомнить, что период функции — это такое число, через которое функция повторяется. То есть, если функция имеет период $T$, то для всех $x$ выполняется:

$$f(x + T) = f(x) \quad \text{и} \quad f(x — T) = f(x).$$

Это означает, что сдвиг функции на $T$ вправо или влево не изменяет её значения.

Шаг 2: Проверим периодичность для $T_1 = 3$

Из условия задачи нам сказано, что для всех $x$:

$$f(x — 3) = f(x) \quad \text{и} \quad f(x + 3) = f(x).$$

Это означает, что период функции $f(x)$ равен $T_1 = 3$. То есть функция $f(x)$ повторяется через 3 единицы на оси $x$. Более формально, для любого $x$ выполняется:

$$f(x + 3) = f(x) \quad \text{и} \quad f(x — 3) = f(x).$$

Шаг 3: Проверим периодичность для $T_2 = 5$

Также известно, что функция $f(x)$ повторяется через 5 единиц. То есть для всех $x$ выполняется:

$$f(x — 5) = f(x) \quad \text{и} \quad f(x + 5) = f(x).$$

Это означает, что $T_2 = 5$ — второй период функции $f(x)$, и она повторяется каждые 5 единиц.

Шаг 4: Доказательство для $f(x-2) = f(x) = f(x+2)$

Теперь, на основе этих двух периодов, давайте докажем, что:

$$f(x — 2) = f(x) = f(x + 2).$$

Подход к доказательству:

Для начала, выразим $f(x — 2)$ и $f(x + 2)$ через комбинацию периодов $T_1 = 3$ и $T_2 = 5$.

Шаг 4.1: Выражение для $f(x — 2)$

Нам нужно показать, что $f(x — 2) = f(x)$.

Рассмотрим $f(x — 2)$. Разделим сдвиг на два этапа, используя периоды $T_1 = 3$ и $T_2 = 5$.

Можно записать $f(x — 2)$ как:

$$f(x — 2) = f((x + 3) — 5) = f((x + T_1) — T_2).$$

Здесь мы использовали, что $x — 2$ можно выразить как $(x + 3) — 5$, где $+3$ и $-5$ — это сдвиги, соответствующие периодам $T_1$ и $T_2$.

Поскольку $f(x)$ периодична с периодами $T_1$ и $T_2$, то:

$$f(x — 2) = f(x + T_1) = f(x).$$

Таким образом, мы доказали, что $f(x — 2) = f(x)$.

Шаг 4.2: Выражение для $f(x + 2)$

Теперь докажем, что $f(x + 2) = f(x)$.

Рассмотрим $f(x + 2)$. Мы также можем выразить этот сдвиг через $T_1 = 3$ и $T_2 = 5$:

$$f(x + 2) = f((x + 5) — 3) = f((x + T_2) — T_1).$$

Здесь мы использовали, что $x + 2$ можно выразить как $(x + 5) — 3$.

Поскольку $f(x)$ периодична с периодами $T_1$ и $T_2$, то:

$$f(x + 2) = f(x + T_2) = f(x).$$

Таким образом, мы доказали, что $f(x + 2) = f(x)$.

Шаг 4.3: Заключение

Теперь мы имеем:

$$f(x — 2) = f(x) = f(x + 2).$$

Это доказывает, что функция $f(x)$ принимает одинаковые значения при сдвиге на 2 единицы влево и вправо.

Итог:

Мы показали, что если функция $f(x)$ имеет два периода $T_1 = 3$ и $T_2 = 5$, то для всех $x$:

$$f(x — 2) = f(x) = f(x + 2).$$

Таким образом, периодичность функции $f(x)$ с периодами $T_1 = 3$ и $T_2 = 5$ приводит к тому, что она также повторяется через 2 единицы. Это и требовалось доказать.