ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Выясните, может ли функция быть периодической, если она обладает указанным свойством; если может, то приведите пример, если не может, — объясните почему:

а) Областью определения функции является отрезок или луч;

б) областью определения функции является объединение бесконечного множества отрезков, но не прямая;

в) функция определена на всей числовой прямой, кроме одной точки;

г) функция определена на всей числовой прямой, кроме бесконечного числа точек.

Выяснить может ли функция быть периодической, если:

а) Областью определения функции является отрезок или луч;

Пусть дана функция $y = f(x)$ с периодом $T$, у которой:

$$D(f) = [a; b];$$ $$D(f) = (a; +\infty);$$ $$D(f) = (-\infty; b);$$

Для числа $x \in D(f)$ всегда существует целое число $k$, при котором:

$$x + kT < a;$$ $$x + kT > b;$$

Значит функция $f(x + kT)$ не определена, а поэтому не равна $f(x)$;

Ответ: не может.

б) Областью определения функции является объединение бесконечного множества отрезков, но не прямая;

Пусть $f(x) = \sqrt{3 — 5\{x\}}$, тогда функция определена при:

$$3 — 5\{x\} \geq 0;$$ $$5\{x\} \leq 3;$$ $$\{x\} \leq \frac{3}{5};$$ $$k \leq x \leq k + \frac{3}{5}, \text{ где } k \in \mathbb{Z};$$

При этом функция является периодической:

$$f(x + T) = f(x);$$ $$\sqrt{3 — 5\{x + T\}} = \sqrt{3 — 5\{x\}};$$ $$3 — 5\{x + T\} = 3 — 5\{x\};$$ $$-5\{x + T\} \equiv -5\{x\};$$ $$\{x + T\} = \{x\};$$ $$T \text{ — любое целое число, то есть } T_{\text{осн}} = 1;$$

Ответ: может.

в) Функция определена на всей числовой прямой, кроме одной точки;

Пусть дана функция $y = f(x)$ с периодом $T$, у которой:

$$D(f) = (-\infty; a) \cup (a; +\infty);$$

Для любого числа $T$ существует такое число $x \in D(f)$, для которого:

$$x + T = a;$$

Значит функция $f(x + T)$ не определена, а поэтому не равна $f(x)$;

Ответ: не может.

г) Функция определена на всей числовой прямой, кроме бесконечного числа точек;

Пусть $f(x) = \frac{5}{\{x\}}$, тогда функция определена при:

$$\{x\} \neq 0;$$ $$x \neq k, \text{ где } k \in \mathbb{Z};$$

При этом функция является периодической:

$$f(x + T) = f(x);$$ $$\frac{5}{\{x + T\}} = \frac{5}{\{x\}};$$ $$\{x + T\} = \{x\};$$ $$T \text{ — любое целое число, то есть } T_{\text{осн}} = 1;$$

Ответ: может.

Выяснить, может ли функция быть периодической, если:

а) Областью определения функции является отрезок или луч.

Пусть дана функция $y = f(x)$ с периодом $T$, у которой:

• $D(f) = [a; b]$ — область определения функции является отрезком от $a$ до $b$,
• $D(f) = (a; +\infty)$ — область определения функции — луч от $a$ до бесконечности,
• $D(f) = (-\infty; b)$ — область определения функции — луч от минус бесконечности до $b$.

Пусть $x \in D(f)$, то есть $x$ — произвольная точка области определения функции. Мы знаем, что период функции $T$ — это такое число, что для всех $x$ из области определения выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$.

Но поскольку область определения функции ограничена, то существует целое число $k$, при котором:

$$x + kT < a \quad \text{или} \quad x + kT > b.$$

В этих случаях, когда $x + kT$ выходит за пределы области определения, функция $f(x + kT)$ не определена в точке $x + kT$.

Таким образом, для того чтобы функция оставалась определённой и периодичной на всём своём домене, значение $x + kT$ должно оставаться внутри области определения. Но это невозможно, так как выход за пределы отрезка (или луча) делает функцию не определённой в новой точке. Вследствие этого функция не может быть периодической, если её область определения является отрезком или лучом.

Ответ: не может быть периодической.

б) Областью определения функции является объединение бесконечного множества отрезков, но не прямая.

Рассмотрим функцию:

$$f(x) = \sqrt{3 — 5\{x\}},$$

где $\{x\}$ — дробная часть числа $x$, и $f(x)$ определена при:

$$3 — 5\{x\} \geq 0.$$

Из этого неравенства получаем:

$$5\{x\} \leq 3 \quad \Rightarrow \quad \{x\} \leq \frac{3}{5}.$$

Дробная часть $\{x\}$ всегда лежит в интервале $[0, 1)$, то есть:

$$0 \leq \{x\} < 1.$$

Таким образом, для $f(x)$ быть определённой, дробная часть $\{x\}$ должна удовлетворять условию:

$$0 \leq \{x\} \leq \frac{3}{5}.$$

Это условие выполняется для значений $x$ в интервале:

$$k \leq x \leq k + \frac{3}{5}, \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Таким образом, область определения функции — это объединение отрезков $[k, k + \frac{3}{5}]$, где $k$ — целое число.

Теперь проверим, является ли функция периодической. Для этого нужно убедиться, что выполняется условие:

$$f(x + T) = f(x).$$

Рассмотрим:

$$f(x + T) = \sqrt{3 — 5\{x + T\}},$$

и нужно, чтобы это выражение совпало с $f(x) = \sqrt{3 — 5\{x\}}$. Для этого необходимо, чтобы выполнялось равенство:

$$\sqrt{3 — 5\{x + T\}} = \sqrt{3 — 5\{x\}}.$$

Из этого следует:

$$3 — 5\{x + T\} = 3 — 5\{x\},$$

или

$$\{x + T\} = \{x\}.$$

Это условие выполняется, если $T$ — целое число, то есть $T \in \mathbb{Z}$, и период функции:

$$T_{\text{осн}} = 1.$$

Ответ: может быть периодической.

в) Функция определена на всей числовой прямой, кроме одной точки.

Пусть дана функция $y = f(x)$ с периодом $T$, у которой область определения:

$$D(f) = (-\infty; a) \cup (a; +\infty).$$

То есть функция определена на всей числовой прямой, кроме точки $x = a$.

Для любого числа $T$ существует такое число $x \in D(f)$, что:

$$x + T = a.$$

Это означает, что значение $x + T$ попадёт в точку, где функция не определена, то есть в точку $a$.

В результате, функция $f(x + T)$ не будет определена в точке $x + T = a$, а значит, не будет равна $f(x)$, так как функция не существует в этой точке.

Ответ: не может быть периодической.

г) Функция определена на всей числовой прямой, кроме бесконечного числа точек.

Пусть дана функция:

$$f(x) = \frac{5}{\{x\}},$$

где $\{x\}$ — дробная часть числа $x$. Эта функция определена при:

$$\{x\} \neq 0,$$

то есть $f(x)$ не определена в точках, где дробная часть $\{x\} = 0$. Такие точки — это целые числа $x = k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Таким образом, функция определена на всей числовой прямой, кроме целых чисел.

Теперь проверим, является ли функция периодической. Для этого нужно, чтобы выполнялось:

$$f(x + T) = f(x).$$

Подставим:

$$f(x + T) = \frac{5}{\{x + T\}} \quad \text{и} \quad f(x) = \frac{5}{\{x\}}.$$

Для равенства нужно, чтобы выполнялось:

$$\frac{5}{\{x + T\}} = \frac{5}{\{x\}},$$

что эквивалентно:

$$\{x + T\} = \{x\}.$$

Это условие выполняется для всех целых чисел $T$, то есть для $T \in \mathbb{Z}$. Период функции:

$$T_{\text{осн}} = 1.$$

Ответ: может быть периодической.

Итоговые ответы:

а) Не может быть периодической.

б) Может быть периодической.

в) Не может быть периодической.

г) Может быть периодической.