ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Функция имеет шесть нулей;

б) функция не имеет нулей;

в) функция положительна при x > 3 и отрицательна при x < 3;

г) при x > 3 функция принимает положительные значения.

Выяснить может ли функция быть периодической, если:

а) Функция имеет шесть нулей;

Пусть дана функция $y = f(x)$ с периодом $T$;

Допустим у функции имеется ровно шесть нулей, при этом $x = a$ — наибольшее значение аргумента, при котором $f(x) = 0$;

Тогда функция не может быть периодической, так как:

$$f(a + T) \neq 0;$$ $$f(a + T) \neq f(a);$$

Ответ: не может.

б) Функция не имеет нулей;

Пусть $f(x) = \{x\} + 1$, тогда функция принимает значения:

$$0 \leq \{x\} < 1;$$ $$1 \leq \{x\} + 1 < 2;$$

При этом функция является периодической:

$$f(x + T) = f(x);$$ $$\{x + T\} + 1 = \{x\} + 1;$$ $$\{x + T\} = \{x\};$$

$T$ — любое целое число, то есть $T_{\text{осн}} = 1$;

Ответ: может.

в) Функция положительна при $x > 3$ и отрицательна при $x \leq 3$;

Пусть дана функция $y = f(x)$ с периодом $T$, у которой:

$$f(x) > 0 \text{ при } x > 3;$$ $$f(x) < 0 \text{ при } x \leq 3;$$

Пусть $x = a > 3$, тогда $f(a) > 0$;

Для любых $a$ и $T$ существует такое число $k \in \mathbb{Z}$, при котором:

$$a + kT \leq 3;$$

Тогда функция не может быть периодической, так как:

$$f(a) > 0;$$ $$f(a + kT) < 0;$$ $$f(a) \neq f(a + kT);$$

Ответ: не может.

г) При $x > 3$ функция принимает положительные значения;

Пусть $f(x) = \{x\} + 4$, тогда функция принимает значения:

$$0 \leq \{x\} < 1;$$ $$4 \leq \{x\} + 4 < 5;$$

При этом функция является периодической:

$$f(x + T) = f(x);$$ $$\{x + T\} + 4 = \{x\} + 4;$$ $$\{x + T\} = \{x\};$$

$T$ — любое целое число, то есть $T_{\text{осн}} = 1$;

Ответ: может.

Выяснить, может ли функция быть периодической, если:

а) Функция имеет шесть нулей.

Пусть дана функция $y = f(x)$, которая обладает периодом $T$. Это означает, что:

$$f(x + T) = f(x) \quad \text{для всех } x.$$

Периодическая функция принимает одно и то же значение при любом сдвиге на период $T$.

Допустим, у функции $f(x)$ имеется ровно шесть нулей. Это значит, что существует шесть точек $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$, таких что $f(x_i) = 0$ для $i = 1, 2, \dots, 6$. Пусть $x = a$ — наибольшее значение аргумента, при котором $f(x) = 0$.

Рассмотрим, что происходит с функцией $f(x)$ при сдвиге на период $T$. По определению периодической функции:

$$f(a + T) = f(a).$$

Но из условия задачи $a$ — это наибольшее значение аргумента, при котором функция равна нулю:

$$f(a) = 0.$$

Следовательно:

$$f(a + T) = 0.$$

Однако, так как $a$ — это наибольшее значение, при котором $f(x) = 0$, то из этого следует, что $a + T > a$, а значит, $f(a + T) \neq 0$. Таким образом, получаем противоречие с условием, что функция периодическая.

Таким образом, функция не может быть периодической, если у неё ровно шесть нулей, так как наибольший ноль не может совпасть с нулём при сдвиге на период $T$.

Ответ: не может.

б) Функция не имеет нулей.

Пусть дана функция $f(x) = \{x\} + 1$, где $\{x\}$ — это дробная часть числа $x$. Дробная часть $\{x\}$ всегда удовлетворяет неравенству:

$$0 \leq \{x\} < 1.$$

Следовательно:

$$1 \leq \{x\} + 1 < 2.$$

Это значит, что функция $f(x)$ всегда принимает значения в интервале $[1, 2)$, то есть не имеет нулей.

Далее, покажем, что функция $f(x)$ является периодической. Для этого нужно доказать, что $f(x + T) = f(x)$ для некоторого $T$, которое будет периодом функции.

Рассмотрим:

$$f(x + T) = \{x + T\} + 1.$$

Поскольку $\{x + T\}$ — это дробная часть числа $x + T$, то:

$$\{x + T\} = \{x\}.$$

Следовательно:

$$f(x + T) = \{x + T\} + 1 = \{x\} + 1 = f(x).$$

Это подтверждает, что функция периодична с периодом $T$.

Период функции можно выбрать равным любому целому числу, так как дробная часть $\{x\}$ повторяется с периодом 1. То есть:

$$T_{\text{осн}} = 1.$$

Ответ: может.

в) Функция положительна при $x > 3$ и отрицательна при $x \leq 3$.

Пусть дана функция $y = f(x)$, которая обладает периодом $T$, и для неё выполняются следующие условия:

$$f(x) > 0 \quad \text{при} \quad x > 3,$$ $$f(x) < 0 \quad \text{при} \quad x \leq 3.$$

Рассмотрим $x = a$, где $a > 3$. Поскольку $f(x) > 0$ при $x > 3$, то:

$$f(a) > 0.$$

Для функции, обладающей периодом $T$, существует некоторое $k \in \mathbb{Z}$, при котором:

$$a + kT \leq 3.$$

Так как функция периодична, то:

$$f(a + kT) = f(a).$$

Однако, по условию задачи, если $a + kT \leq 3$, то $f(a + kT) < 0$. Это противоречит тому, что $f(a) > 0$. Следовательно, функция не может быть периодической, так как она не может одновременно принимать значения больше нуля и меньше нуля для одной и той же функции при сдвиге на период $T$.

Ответ: не может.

г) При $x > 3$ функция принимает положительные значения.

Пусть дана функция $f(x) = \{x\} + 4$, где $\{x\}$ — это дробная часть числа $x$. Как и в предыдущем случае, дробная часть $\{x\}$ удовлетворяет неравенству:

$$0 \leq \{x\} < 1.$$

Следовательно, функция $f(x)$ принимает значения:

$$4 \leq \{x\} + 4 < 5.$$

Таким образом, для всех $x$ функция $f(x)$ всегда принимает значения в интервале $[4, 5)$, то есть функция всегда положительна.

Рассмотрим, является ли функция периодической. Для этого нужно доказать, что $f(x + T) = f(x)$ для некоторого $T$, которое будет периодом функции.

Рассмотрим:

$$f(x + T) = \{x + T\} + 4.$$

Поскольку $\{x + T\}$ — это дробная часть числа $x + T$, то:

$$\{x + T\} = \{x\}.$$

Следовательно:

$$f(x + T) = \{x + T\} + 4 = \{x\} + 4 = f(x).$$

Это подтверждает, что функция периодична с периодом $T$.

Период функции можно выбрать равным любому целому числу, так как дробная часть $\{x\}$ повторяется с периодом 1. То есть:

$$T_{\text{осн}} = 1.$$

Ответ: может.