ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Функция убывает на всей области своего определения;

б) функция имеет бесконечно много промежутков убывания;

в) функция имеет наименьшее значение, но не имеет наибольшего;

г) функция убывает на интервале (3; 11).

Выяснить может ли функция быть периодической, если:

а) Функция убывает на всей области своего определения;

Пусть дана функция $y = f(x)$ с периодом $T$;

Допустим функция постоянно убывает на $D(f)$, тогда:

• $x + T > x$;
• $f(x + T) < f(x)$;
• $f(x + T) \neq f(x)$;

Ответ: не может.

б) Функция имеет бесконечно много промежутков убывания;

Пусть $f(x) = -\{x\}$, тогда функция убывает на интервале:

• $0 \leq x < 1$;

При этом функция является периодической:

• $f(x + T) = f(x)$;
• $-\{x + T\} = -\{x\}$;
• $\{x + T\} = \{x\}$;
• $T$ — любое целое число, то есть $T_{\text{осн}} = 1$;

Ответ: может.

в) Функция имеет наименьшее значение, но не имеет наибольшего;

Пусть $f(x) = \{x\} + 2$, тогда функция принимает значения:

• $0 \leq \{x\} < 2$;
• $1 \leq \{x\} + 1 < 3$;

При этом функция является периодической:

• $f(x + T) = f(x)$;
• $\{x + T\} + 2 = \{x\} + 2$;
• $\{x + T\} = \{x\}$;
• $T$ — любое целое число, то есть $T_{\text{осн}} = 1$;

Ответ: может.

г) Функция убывает на интервале (3; 11);

Пусть $f(x) = -\frac{\{x — 3\}}{8}$, тогда функция убывает на интервале:

• $0 \leq \frac{x — 3}{8} < 1$;
• $0 \leq x — 3 < 8$;
• $3 \leq x < 11$;

При этом функция является периодической:

• $f(x + T) = f(x)$;
• $-\left\{\frac{(x + T) — 3}{8}\right\} = -\left\{\frac{x — 3}{8}\right\}$;
• $\left\{\frac{x + T — 3}{8}\right\} = \left\{\frac{x — 3}{8}\right\}$;
• $\frac{T}{8}$ — любое целое число, то есть $T_{\text{осн}} = 8$;

Ответ: может.

а) Функция убывает на всей области своего определения

Условие:

Нужно выяснить, может ли функция быть периодической, если она убывает на всей области своего определения.

Пусть дана функция $y = f(x)$, которая является периодической с периодом $T$. То есть, $f(x + T) = f(x)$ для всех $x \in D(f)$.

Допустим, функция постоянно убывает на $D(f)$. Это означает, что для любых двух значений $x_1, x_2 \in D(f)$, если $x_2 > x_1$, то $f(x_2) < f(x_1)$. То есть, функция не может иметь максимума, так как она всегда убывает. Для всех $x \in D(f)$ выполняется:

$$f(x + T) < f(x).$$

Теперь, рассмотрим периодичность функции. Из условия периодичности:

$$f(x + T) = f(x) \quad \text{для всех} \quad x.$$

Однако, по предположению, функция убывает на $D(f)$, то есть:

$$f(x + T) < f(x).$$

Но из этого мы получаем противоречие: по одному из условий $f(x + T) = f(x)$, а по другому $f(x + T) < f(x)$. Это не может быть выполнено одновременно.

Ответ: Функция не может быть периодической, если она убывает на всей области своего определения.

б) Функция имеет бесконечно много промежутков убывания

Условие:

Нужно выяснить, может ли функция быть периодической, если она имеет бесконечно много промежутков убывания.

Рассмотрим функцию $f(x) = -\{x\}$, где $\{x\}$ — это дробная часть числа $x$. Она определена как:

$$\{x\} = x — \lfloor x \rfloor,$$

где $\lfloor x \rfloor$ — целая часть числа $x$. Эта функция принимает значения от 0 до 1, то есть:

$$0 \leq \{x\} < 1.$$

Функция $f(x) = -\{x\}$ будет убывать на интервале $0 \leq x < 1$, так как:

$$f(x) = -\{x\} \quad \text{и} \quad f(x) \quad \text{уменьшается при увеличении} \quad x.$$

Мы видим, что функция убывает на интервале $0 \leq x < 1$. Однако, она будет повторяться каждые целые числа $x$, так как:

$$f(x + 1) = -\{x + 1\} = -\{x\} = f(x).$$

Это показывает, что функция периодична с периодом $T = 1$. Иными словами, функция имеет бесконечно много промежутков убывания, так как на каждом интервале $[n, n+1)$ (для каждого целого $n$) она будет убывать.

Ответ: Функция может быть периодической, если она имеет бесконечно много промежутков убывания.

в) Функция имеет наименьшее значение, но не имеет наибольшего

Условие:

Нужно выяснить, может ли функция быть периодической, если она имеет наименьшее значение, но не имеет наибольшего.

Рассмотрим функцию $f(x) = \{x\} + 2$, где $\{x\}$ — это дробная часть числа $x$, как и в предыдущем пункте. Функция $\{x\}$ принимает значения от 0 до 1, то есть:

$$0 \leq \{x\} < 1.$$

Следовательно, функция $f(x) = \{x\} + 2$ принимает значения от 2 до 3:

$$2 \leq f(x) < 3.$$

Таким образом, наименьшее значение функции — это 2 (когда $\{x\} = 0$), а наибольшее значение функции не существует, так как $\{x\}$ никогда не достигает 1.

Рассмотрим периодичность функции. Функция $f(x) = \{x\} + 2$ является периодической с периодом $T = 1$, так как:

$$f(x + 1) = \{x + 1\} + 2 = \{x\} + 2 = f(x).$$

Ответ: Функция может быть периодической, если она имеет наименьшее значение, но не имеет наибольшего.

г) Функция убывает на интервале $(3; 11)$

Условие:

Нужно выяснить, может ли функция быть периодической, если она убывает на интервале $(3; 11)$.

Рассмотрим функцию $f(x) = -\frac{\{x — 3\}}{8}$, где $\{x — 3\}$ — это дробная часть выражения $x — 3$. Дробная часть $\{x — 3\}$ принимает значения от 0 до 1:

$$0 \leq \{x — 3\} < 1.$$

Следовательно, функция $f(x) = -\frac{\{x — 3\}}{8}$ принимает значения от 0 до $-\frac{1}{8}$:

$$-\frac{1}{8} \leq f(x) < 0.$$

Рассмотрим интервал $3 \leq x < 11$. На этом интервале дробная часть $\{x — 3\}$ будет изменяться от 0 до 1, и функция $f(x)$ будет убывать на этом интервале.

Функция является периодической, так как:

$$f(x + T) = -\frac{\{(x + T) — 3\}}{8} = -\frac{\{x — 3\}}{8} = f(x).$$

Таким образом, период функции равен $T = 8$, так как дробная часть повторяется каждые 8 единиц.

Ответ: Функция может быть периодической, если она убывает на интервале $(3; 11)$.

Итоговые ответы:

а) Функция не может быть периодической, если она убывает на всей области своего определения.

б) Функция может быть периодической, если она имеет бесконечно много промежутков убывания.

в) Функция может быть периодической, если она имеет наименьшее значение, но не имеет наибольшего.

г) Функция может быть периодической, если она убывает на интервале $(3; 11)$.