ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Функция у = f(x) — периодическая, с периодом T $T = \sqrt{5}$. Известно, что f(1) = 1, f(-1) = 7. Вычислите:

а) $f(1+8\sqrt{5})$

б) $f(-1-22\sqrt{5})$

Функция $y = f(x)$ — периодическая с периодом $T = \sqrt{5}$;

Известно, что $f(1) = 1$ и $f(-1) = 7$;

а) $f(1 + 8\sqrt{5}) = f(1 + \sqrt{5} \cdot 8) = f(1 + 8T) = f(1) = 1$;

Ответ: 1.

б) $f(-1 — 22\sqrt{5}) = f(-1 — \sqrt{5} \cdot 22) = f(-1 — 22T) = f(-1) = 7$;

Ответ: 7.

Функция $y = f(x)$ — периодическая с периодом $T = \sqrt{5}$;

Это означает, что для всех значений $x$ выполняется равенство:

$$f(x + T) = f(x),$$

где $T = \sqrt{5}$. То есть функция повторяется каждые $\sqrt{5}$ единиц на оси $x$.

Известно, что $f(1) = 1$ и $f(-1) = 7$;

Нам даны значения функции $f(1) = 1$ и $f(-1) = 7$. Все последующие вычисления будут основываться на этих значениях и периодичности функции.

а) $f(1 + 8\sqrt{5}) = f(1 + \sqrt{5} \cdot 8) = f(1 + 8T) = f(1) = 1$

Здесь рассматриваем значение функции в точке $x = 1 + 8\sqrt{5}$.

Понимание выражения $1 + 8\sqrt{5}$:

Мы видим, что $8\sqrt{5}$ можно записать как $8T$, где $T = \sqrt{5}$ — это период функции. То есть выражение $1 + 8\sqrt{5}$ можно переписать как:

$$1 + 8\sqrt{5} = 1 + 8T.$$

Использование периодичности функции:

Согласно свойству периодичности функции $f(x + T) = f(x)$ для всех $x$, мы знаем, что $f(x + T) = f(x)$, и это свойство применимо к любому числу, кратному периоду. В данном случае $8T$ — это целое количество периодов функции. Мы можем записать:

$$f(1 + 8T) = f(1).$$

Подставляем известное значение $f(1) = 1$:

Поскольку $f(1) = 1$, то:

$$f(1 + 8T) = 1.$$

Ответ:

$$f(1 + 8\sqrt{5}) = 1.$$

б) $f(-1 — 22\sqrt{5}) = f(-1 — \sqrt{5} \cdot 22) = f(-1 — 22T) = f(-1) = 7$

Теперь рассмотрим значение функции в точке $x = -1 — 22\sqrt{5}$.

Понимание выражения $-1 — 22\sqrt{5}$:

Мы можем переписать $-22\sqrt{5}$ как $-22T$, где $T = \sqrt{5}$. То есть выражение $-1 — 22\sqrt{5}$ можно записать как:

$$-1 — 22\sqrt{5} = -1 — 22T.$$

Использование периодичности функции:

Вновь используя свойство периодичности $f(x + T) = f(x)$, мы знаем, что значения функции, отличающиеся на целое количество периодов, будут одинаковыми. Таким образом, можно записать:

$$f(-1 — 22T) = f(-1).$$

Подставляем известное значение $f(-1) = 7$:

Поскольку $f(-1) = 7$, то:

$$f(-1 — 22T) = 7.$$

Ответ:

$$f(-1 — 22\sqrt{5}) = 7.$$

Итоговые ответы:

• Для первого случая:

  $$f(1 + 8\sqrt{5}) = 1.$$

• Для второго случая:

  $$f(-1 — 22\sqrt{5}) = 7.$$