ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть $y = f(x)$ — периодическая функция с периодом 2 и $f(x) = 5x + 2$ на интервале $(0; 4)$. Решите:

а) уравнение $f(x) = 7$;
б) неравенство $f(x) > 7$.

Дана функция:
$y = f(x)$ с периодом $T = 4$;
$f(x) = 5x + 2$ на интервале $(0; 4)$;

а) $f(x) = 7$;

Решим уравнение на интервале $(0; 4)$:
$5x + 2 = 7;$
$5x = 5;$
$x = 1;$

Все периоды функции:
$T_{\text{общ}} = kT = 4k;$
Ответ: $x = 1 + 4k$.

б) $f(x) > 7$;

Решим неравенство на интервале $(0; 4)$:
$5x + 2 > 7;$
$5x > 5;$
$x > 1;$
$1 < x \leq 4;$

Все периоды функции:
$T_{\text{общ}} = kT = 4k;$
Ответ: $4k + 1 < x \leq 4k + 4$.

Дано:

Функция $y = f(x)$ с периодом $T = 4$;

Функция $f(x) = 5x + 2$ на интервале $(0; 4)$.

Задача а) $f(x) = 7$

Шаг 1. Решение уравнения $f(x) = 7$ на интервале $(0; 4)$:

Нам нужно решить уравнение:

$$f(x) = 7$$

Подставим выражение для функции $f(x) = 5x + 2$:

$$5x + 2 = 7$$

Теперь решим это уравнение:

$$5x = 7 — 2$$ $$5x = 5$$ $$x = \frac{5}{5}$$ $$x = 1$$

Таким образом, на интервале $(0; 4)$ решение уравнения $f(x) = 7$ — это $x = 1$.

Шаг 2. Все периоды функции.

Поскольку функция $f(x)$ периодична с периодом $T = 4$, то все решения будут повторяться через период. Для всех значений $x$, которые могут быть получены путем добавления целого числа $k$ умноженного на период $T = 4$, мы получаем общее решение:

$$x = 1 + 4k$$

где $k$ — целое число.

Ответ: $x = 1 + 4k$, где $k$ — целое число.

Задача б) $f(x) > 7$

Шаг 1. Решение неравенства $f(x) > 7$ на интервале $(0; 4)$:

Нам нужно решить неравенство:

$$f(x) > 7$$

Подставим выражение для функции $f(x) = 5x + 2$:

$$5x + 2 > 7$$

Теперь решим это неравенство:

$$5x > 7 — 2$$ $$5x > 5$$ $$x > \frac{5}{5}$$ $$x > 1$$

Таким образом, на интервале $(0; 4)$ решением неравенства будет промежуток $(1; 4]$, то есть:

$$1 < x \leq 4$$

Шаг 2. Все периоды функции.

Как и в предыдущем случае, учитывая периодичность функции с периодом $T = 4$, все решения будут повторяться через период. Поэтому, если решение на интервале $(0; 4)$ — это $1 < x \leq 4$, то для всех $k$ (целых чисел) мы получаем, что решение будет представлено интервалом:

$$4k + 1 < x \leq 4k + 4$$

где $k$ — целое число.

Ответ: $4k + 1 < x \leq 4k + 4$, где $k$ — целое число.

Итоговое решение:

1. Для уравнения $f(x) = 7$ решение на интервале $(0; 4)$:
   $x = 1$.
   Все периоды функции: $x = 1 + 4k$, где $k$ — целое число.
2. Для неравенства $f(x) > 7$ решение на интервале $(0; 4)$:
   $1 < x \leq 4$.
   Все периоды функции: $4k + 1 < x \leq 4k + 4$, где $k$ — целое число.