ГДЗ Мордкович 10 Класс Профильный Уровень по Алгебре Задачник 📕 — Все Части

Алгебра Профильный Уровень

10 класс задачник профильный уровень Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Пусть $ y = f(x) $ — периодическая функция с периодом 5 и $ f(x) = x^2 + 2x $ на полуинтервале $(-3; 2]$. Решите:

а) уравнение $ f(x) = 0 $;
б) неравенство $ f(x) > 3 $;
в) уравнение $ f(x) = 8 $;
г) неравенство $ f(x) < 0 $.

Краткий ответ:

Дана функция:

$y = f (x)$ с периодом $T = 5$ ;

$f (x) = x^{2} + 2 x$ на интервале $(- 3; 2]$ .

а) $f (x) = 0$ ;

Решим уравнение на интервале $(- 3; 2]$ :

$x^{2} + 2 x = 0;$ $(x + 2) \cdot x = 0;$ $x_{1} = - 2 и x_{2} = 0;$

Все периоды функции:

$T_{общ} = k T = 5 k;$

Ответ: $x_{1} = 5 k - 2$ ; $x_{2} = 5 k$ .

б) $f (x) > 3$ ;

Решим неравенство на интервале $(- 3; 2]$ :

$x^{2} + 2 x > 3;$ $x^{2} + 2 x - 3 > 0;$ $D = 2^{2} + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, тогда:$ $x_{1} = \frac{- 2 - 4}{2} = - 3 и x_{2} = \frac{- 2 + 4}{2} = 1;$ $(x + 3) (x - 1) > 0;$ $x < - 3 и x > 1;$ $1 < x \leq 2;$

Все периоды функции:

$T_{общ} = k T = 5 k;$

Ответ: $5 k + 1 < x \leq 5 k + 2$ .

в) $f (x) = 8$ ;

Решим уравнение на интервале $(- 3; 2]$ :

$x^{2} + 2 x = 8;$ $x^{2} + 2 x - 8 = 0;$ $D = 2^{2} + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36, тогда:$ $x_{1} = \frac{- 2 - 6}{2} = - 4 и x_{2} = \frac{- 2 + 6}{2} = 2;$ $x = 2;$

Все периоды функции:

$T_{общ} = k T = 5 k;$

Ответ: $x = 5 k + 2$ .

г) $f (x) < 0$ ;

Решим неравенство на интервале $(- 3; 2]$ :

$x^{2} + 2 x < 0;$ $(x + 2) \cdot x < 0;$ $- 2 < x < 0;$

Все периоды функции:

$T_{общ} = k T = 5 k;$

Ответ: $5 k - 2 < x < 5 k$ .

Подробный ответ:

Функция $y = f (x)$ с периодом $T = 5$ ;

Функция $f (x) = x^{2} + 2 x$ на интервале $(- 3; 2]$ .

Задача а) $f (x) = 0$

Нам нужно решить уравнение:

$f (x) = 0$

Функция на интервале $(- 3; 2]$ задана как $f (x) = x^{2} + 2 x$ . Подставим это в уравнение:

$x^{2} + 2 x = 0$

Решим это уравнение:

$x^{2} + 2 x = 0$

Для решения используем метод выделения общего множителя. Вынесем $x$ за скобки:

$x (x + 2) = 0$

Теперь у нас есть произведение двух множителей. Чтобы произведение было равно нулю, хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Поэтому решим два уравнения:

$x = 0 или x + 2 = 0$

Из второго уравнения получаем:

$x = - 2$

Таким образом, на интервале $(- 3; 2]$ решения уравнения $f (x) = 0$ — это $x_{1} = - 2$ и $x_{2} = 0$ .

Так как функция периодична с периодом $T = 5$ , все её решения повторяются с периодом 5. Для этого мы добавляем целые числа, умноженные на период $T = 5$ . Общие решения будут:

$x_{1} = 5 k - 2 и x_{2} = 5 k$

где $k$ — целое число, $k \in Z$ .

Ответ: $x_{1} = 5 k - 2$ ; $x_{2} = 5 k$ , где $k$ — целое число.

Задача б) $f (x) > 3$

Нам нужно решить неравенство:

$f (x) > 3$

Подставляем выражение для $f (x)$ :

$x^{2} + 2 x > 3$

Преобразуем неравенство:

$x^{2} + 2 x - 3 > 0$

Теперь решим это неравенство. Сначала найдем дискриминант для соответствующего квадратного уравнения $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ . Используем формулу для дискриминанта:

$D = b^{2} - 4 a c$

где $a = 1$ , $b = 2$ , $c = - 3$ . Подставим значения:

$D = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 4 + 12 = 16$

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два корня. Найдем их по формуле:

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{- 2 - 4}{2} = - 3$ $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{- 2 + 4}{2} = 1$

Теперь нужно решить неравенство $(x + 3) (x - 1) > 0$ . Мы видим, что это произведение двух множителей, и оно будет больше нуля, если оба множителя имеют одинаковые знаки, то есть:

$x < - 3 или x > 1$

Так как нас интересует решение на интервале $(- 3; 2]$ , то в данном интервале нас устраивает только часть решения $1 < x \leq 2$ .

Поскольку функция периодична с периодом $T = 5$ , все её решения будут повторяться с шагом 5. Для этого нам нужно прибавить $5 k$ , где $k$ — целое число. Таким образом, общее решение:

$5 k + 1 < x \leq 5 k + 2$

Ответ: $5 k + 1 < x \leq 5 k + 2$ , где $k$ — целое число.

Задача в) $f (x) = 8$

Нам нужно решить уравнение:

$f (x) = 8$

Подставляем выражение для $f (x)$ :

$x^{2} + 2 x = 8$

Преобразуем уравнение:

$x^{2} + 2 x - 8 = 0$

Найдем дискриминант для этого уравнения:

$D = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8) = 4 + 32 = 36$

Дискриминант положительный, значит, у уравнения есть два корня. Найдем их:

$x_{1} = \frac{- 2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{- 2 - 6}{2} = - 4$ $x_{2} = \frac{- 2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{- 2 + 6}{2} = 2$

Из этих корней на интервале $(- 3; 2]$ нас устраивает только $x_{2} = 2$ .

Функция периодична с периодом $T = 5$ , поэтому все её решения повторяются с шагом $5 k$ , где $k$ — целое число. Таким образом, общее решение:

$x = 5 k + 2$

Ответ: $x = 5 k + 2$ , где $k$ — целое число.

Задача г) $f (x) < 0$

Нам нужно решить неравенство:

$f (x) < 0$

Подставляем выражение для $f (x)$ :

$x^{2} + 2 x < 0$

Преобразуем неравенство:

$(x + 2) \cdot x < 0$

Теперь решим это неравенство. Произведение двух множителей будет меньше нуля, если один из множителей отрицателен, а другой положителен. Таким образом, неравенство выполнено, когда:

$- 2 < x < 0$

Функция периодична с периодом $T = 5$ , поэтому все её решения будут повторяться с шагом $5 k$ . Таким образом, общее решение:

$5 k - 2 < x < 5 k$

Ответ: $5 k - 2 < x < 5 k$ , где $k$ — целое число.

Итоговые ответы:

а) $x_{1} = 5 k - 2$ ; $x_{2} = 5 k$ , где $k$ — целое число.
б) $5 k + 1 < x \leq 5 k + 2$ , где $k$ — целое число.
в) $x = 5 k + 2$ , где $k$ — целое число.
г) $5 k - 2 < x < 5 k$ , где $k$ — целое число.

Оцени решение