ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть $y = f(x)$ — периодическая функция с периодом 4 и $f(x) = x^2 + 8x + 5$ на отрезке $[-6; -2]$. Решите:

• а) уравнение $f(x) = -11$;
• б) неравенство $f(x) \leq 11$;
• в) уравнение $f(x) = -10$;
• г) неравенство $f(x) > -10$.

Дана функция:

$y = f(x)$ с периодом $T = 4$;

$f(x) = x^2 + 8x + 5$ на отрезке $[-6; -2]$;

а) $f(x) = -11$

Решим уравнение на отрезке $[-6; -2]$:

$$x^2 + 8x + 5 = -11;$$ $$x^2 + 8x + 16 = 0;$$ $$(x + 4)^2 = 0;$$ $$x + 4 = 0;$$ $$x = -4;$$

Все периоды функции:

$$T_{\text{общ}} = kT = 4k;$$

Корни уравнения:

$$x = 4k — 4 = 4(k — 1) = 4n;$$

Ответ: $x = 4n$.

б) $f(x) \leq -11$

Решим неравенство на отрезке $[-6; -2]$:

$$x^2 + 8x + 5 \leq -11;$$ $$x^2 + 8x + 16 \leq 0;$$ $$(x + 4)^2 \leq 0;$$ $$x + 4 = 0;$$ $$x = -4;$$

Все периоды функции:

$$T_{\text{общ}} = kT = 4k;$$

Решения неравенства:

$$x = 4k — 4 = 4(k — 1) = 4n;$$

Ответ: $x = 4n$.

в) $f(x) = -10$

Решим уравнение на отрезке $[-6; -2]$:

$$x^2 + 8x + 5 = -10;$$ $$x^2 + 8x + 15 = 0;$$ $$D = 8^2 — 4 \cdot 15 = 64 — 60 = 4, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-8 — 2}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-8 + 2}{2} = -3;$$

Все периоды функции:

$$T_{\text{общ}} = kT = 4k;$$

Корни уравнения:

$$x_1 = 4k — 5 = 2 \cdot (2k) — 2 — 3 = 2 \cdot (2k — 1) — 3;$$ $$x_2 = 4k — 3 = 2 \cdot (2k) — 3;$$

Ответ: $x = 2n — 3$.

г) $f(x) > -10$

Решим неравенство на отрезке $[-6; -2]$:

$$x^2 + 8x + 5 > -10;$$ $$x^2 + 8x + 15 > 0;$$ $$D = 8^2 — 4 \cdot 15 = 64 — 60 = 4, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-8 — 2}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-8 + 2}{2} = -3;$$ $$(x + 5)(x + 3) > 0;$$ $$x < -5 \quad \text{и} \quad x > -3;$$ $$-6 \leq x < -5 \quad \text{и} \quad -3 < x \leq -2;$$

Все периоды функции:

$$T_{\text{общ}} = kT = 4k;$$

Решения неравенства:

$$\begin{cases} 4k — 6 \leq x < 4k — 5, \\ 4k — 3 < x \leq 4k — 2 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 4k — 4 — 2 \leq x < 4k — 4 — 1, \\ 4k — 3 \leq x \leq 4k — 2 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 4(k — 1) — 2 \leq x < 4(k — 1) — 1, \\ 4k — 3 < x \leq 4k — 2 \end{cases}$$

Ответ: $4n — 3 < x < 4n — 1$.

Функция $y = f(x)$ с периодом $T = 4$;

$f(x) = x^2 + 8x + 5$ на отрезке $[-6; -2]$.

Рассмотрим решение по пунктам.

а) $f(x) = -11$

Решим уравнение $f(x) = -11$ на отрезке $[-6; -2]$:

Уравнение:

$$x^2 + 8x + 5 = -11$$

Переносим $-11$ на левую сторону:

$$x^2 + 8x + 5 + 11 = 0$$ $$x^2 + 8x + 16 = 0$$

Замечаем, что это полное квадратное выражение:

$$(x + 4)^2 = 0$$

Таким образом, находим:

$$x + 4 = 0$$ $$x = -4$$

Рассматриваем все периоды функции:

Период функции $T = 4$, значит для всех значений $x$ функция повторяется с периодичностью 4.

Все значения $x$ на разных периодах будут:

$$T_{\text{общ}} = kT = 4k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Здесь $k$ — целое число, которое указывает, на каком периоде находится решение.

Общие корни уравнения $f(x) = -11$:

Поскольку мы нашли, что $x = -4$ на отрезке $[-6; -2]$, то все решения на других периодах будут:

$$x = 4k — 4$$

где $k$ — целое число. Мы можем записать это в виде:

$$x = 4(k — 1) = 4n$$

где $n$ — целое число, так как $k — 1$ также является целым числом.

Ответ: $x = 4n$.

б) $f(x) \leq -11$

Решаем неравенство $f(x) \leq -11$ на отрезке $[-6; -2]$:

Начнем с того, что неравенство:

$$x^2 + 8x + 5 \leq -11$$

Переносим $-11$ на левую сторону:

$$x^2 + 8x + 5 + 11 \leq 0$$ $$x^2 + 8x + 16 \leq 0$$

Замечаем, что это также полное квадратное выражение:

$$(x + 4)^2 \leq 0$$

Квадрат любого числа всегда неотрицателен, то есть $(x + 4)^2 \geq 0$, и единственный случай, когда квадрат равен нулю — это когда:

$$x + 4 = 0$$ $$x = -4$$

Таким образом, единственное решение неравенства:

$$x = -4$$

Рассматриваем все периоды функции:

Период функции $T = 4$, значит для всех значений $x$ функция повторяется с периодичностью 4.

Все значения $x$ на разных периодах будут:

$$T_{\text{общ}} = kT = 4k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Решения неравенства:

Так как на отрезке $[-6; -2]$ решение $x = -4$, то на других периодах аналогичное решение будет:

$$x = 4k — 4$$

Ответ: $x = 4n$.

в) $f(x) = -10$

Решаем уравнение $f(x) = -10$ на отрезке $[-6; -2]$:

Уравнение:

$$x^2 + 8x + 5 = -10$$

Переносим $-10$ на левую сторону:

$$x^2 + 8x + 5 + 10 = 0$$ $$x^2 + 8x + 15 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 — 60 = 4$$

Так как дискриминант положительный, находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-8 — 2}{2} = -5, \quad x_2 = \frac{-8 + 2}{2} = -3$$

Рассматриваем все периоды функции:

Период функции $T = 4$, значит для всех значений $x$ функция повторяется с периодичностью 4.

Все значения $x$ на разных периодах будут:

$$T_{\text{общ}} = kT = 4k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Корни уравнения на разных периодах:

Для корней $x_1 = -5$ и $x_2 = -3$ на других периодах аналогичные значения будут:

$$x_1 = 4k — 5, \quad x_2 = 4k — 3$$

Ответ: $x = 2n — 3$, где $n$ — целое число.

г) $f(x) > -10$

Решаем неравенство $f(x) > -10$ на отрезке $[-6; -2]$:

Начнем с того, что неравенство:

$$x^2 + 8x + 5 > -10$$

Переносим $-10$ на левую сторону:

$$x^2 + 8x + 5 + 10 > 0$$ $$x^2 + 8x + 15 > 0$$

Находим дискриминант:

$$D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 — 60 = 4$$

Находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-8 — 2}{2} = -5, \quad x_2 = \frac{-8 + 2}{2} = -3$$

Разбиваем выражение $x^2 + 8x + 15$ на множители:

$$(x + 5)(x + 3) > 0$$

Из неравенства $(x + 5)(x + 3) > 0$ находим, что:

$$x < -5 \quad \text{или} \quad x > -3$$

На отрезке $[-6; -2]$ решение будет:

$$-6 \leq x < -5 \quad \text{и} \quad -3 < x \leq -2$$

Рассматриваем все периоды функции:

Период функции $T = 4$, значит для всех значений $x$ функция повторяется с периодичностью 4.

Все значения $x$ на разных периодах будут:

$$T_{\text{общ}} = kT = 4k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Решения неравенства на других периодах:

Для каждого отрезка из предыдущего шага на других периодах получаем:

$$4k — 6 \leq x < 4k — 5, \quad 4k — 3 < x \leq 4k — 2$$

После преобразования и учета периода получаем:

$$\begin{cases} 4(k — 1) — 2 \leq x < 4(k — 1) — 1, \\ 4k — 3 < x \leq 4k — 2 \end{cases}$$

Ответ: $4n — 3 < x < 4n — 1$.

Итоговое решение:

а) $x = 4n$

б) $x = 4n$

в) $x = 2n — 3$

г) $4n — 3 < x < 4n — 1$