ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Существует ли такая функция у = f(x) , что для любого x из области ее определения выполняется равенство f(x) = f(x + 2) , а функция не является периодической? Если существует, приведите пример такой функции,

б) Существует ли такая функция у = f(x) , что для любого x из области ее определения выполняется равенство f(x) = f(x — 3) , а функция не является периодической? Если существует, приведите пример такой функции.

а) Пусть $f(x) = 6 + \sqrt{x} — \sqrt{x}$, тогда:

Функция не является периодической;
$D(f) = [0; +\infty)$ — луч;

Но при этом условие выполняется:
$f(x) = 6 + \sqrt{x} — \sqrt{x} = 6$;
$f(x+2) = 6 + \sqrt{x+2} — \sqrt{x+2} = 6$;
$f(x) = f(x+2)$;

Ответ: существует.

б) Пусть $f(x) = 10 + \sqrt{x} — \sqrt{x}$, тогда:

Функция не является периодической;
$D(f) = [0; +\infty)$ — луч;

Но при этом условие выполняется:
$f(x) = 10 + \sqrt{x} — \sqrt{x} = 10$;
$f(x-3) = 10 + \sqrt{x-3} — \sqrt{x-3} = 10$;
$f(x) = f(x-3)$;

Ответ: существует.

Часть а:

Пусть дана функция $f(x) = 6 + \sqrt{x} — \sqrt{x}$.

1. Исследование на периодичность.

Чтобы понять, является ли функция периодической, вспомним, что функция $f(x)$ называется периодической, если существует некоторое $T > 0$, такое что для всех $x$ из области определения функции выполняется:

$$f(x + T) = f(x)$$

Для начала упростим выражение для $f(x)$:

$$f(x) = 6 + \sqrt{x} — \sqrt{x} = 6$$

То есть, $f(x) = 6$ — это постоянная функция, которая не зависит от $x$.

Постоянная функция всегда равна самой себе для любого значения аргумента, то есть:

$$f(x + T) = f(x) = 6$$

Это выполняется для любого $T$, в том числе для любого сдвига. Однако это не делает функцию периодической в традиционном смысле (с фиксированным $T$), потому что она не «изменяется» с каждым сдвигом. Поэтому ее можно считать периодической с любым периодом $T$, но обычно говорят, что постоянная функция не является периодической, так как она не имеет «реального» периода.

2. Область определения функции.

Здесь мы имеем выражение $f(x) = 6$, где $\sqrt{x}$ в исходной формуле — это стандартное определение квадратного корня, который существует только при $x \geq 0$.

Таким образом, область определения функции $f(x)$ — это $D(f) = [0; +\infty)$, то есть функция определена для всех $x$, больших или равных нулю.

3. Проверка на выполнение условия сдвига.

Так как $f(x) = 6$ для всех значений $x$, то условие $f(x + 2) = f(x)$ выполняется автоматически для любого значения $x$, включая сдвиг на 2. То есть:

$$f(x + 2) = 6 + \sqrt{x+2} — \sqrt{x+2} = 6$$

Это равно:

$$f(x) = 6$$

Таким образом, условие выполняется, и ответ: существует периодичность с любым периодом, но для постоянной функции периодичность можно считать «слабой» или «тривиальной».

Часть б:

Теперь рассмотрим функцию $f(x) = 10 + \sqrt{x} — \sqrt{x}$.

1. Исследование на периодичность.

Сначала упростим выражение для $f(x)$:

$$f(x) = 10 + \sqrt{x} — \sqrt{x} = 10$$

Итак, функция $f(x)$ также оказывается постоянной:

$$f(x) = 10$$

Как и в предыдущем случае, эта функция не зависит от $x$, и для любого $x$ ее значение всегда равно 10.

Для определения периодичности снова заметим, что постоянная функция всегда равна самой себе для любого значения аргумента. То есть:

$$f(x + T) = f(x) = 10$$

Это выполняется для всех значений $T$, включая сдвиг на любое значение.

2. Область определения функции.

Как и в случае с первой функцией, область определения $f(x)$ определяется выражением $\sqrt{x}$, которое существует только при $x \geq 0$.

Таким образом, область определения функции $f(x)$ также будет $D(f) = [0; +\infty)$.

3. Проверка на выполнение условия сдвига.

Здесь мы снова имеем постоянную функцию, которая равна 10 для любого $x$. Для сдвига на 3 мы получаем:

$$f(x — 3) = 10 + \sqrt{x-3} — \sqrt{x-3} = 10$$

Это равно:

$$f(x) = 10$$

Таким образом, условие $f(x) = f(x — 3)$ выполняется, и ответ: существует периодичность с любым периодом для постоянной функции, аналогично предыдущему случаю.

Заключение.

• В обеих частях задачи мы имеем постоянные функции, которые не являются периодическими в классическом смысле, но могут быть рассмотрены как периодические с любым периодом.
• Область определения для обеих функций — это $[0; +\infty)$, так как в исходных выражениях встречаются квадратные корни.
• Условия сдвигов выполняются автоматически, так как функции постоянны.