ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Существует ли такая функция у = f(x) , что для любого x из области ее определения выполняется равенство f(2x) = f(x) , а функция является периодической? Если существует, приведите пример такой функции.

б) Существует ли такая функция у = f(x), что для любого x из области ее определения выполняется неравенство f(2x) > f(x), а функция является периодической? Если существует, приведите пример такой функции.

а) Пусть $f(x) = 6$, тогда:

Функция является периодической:

$$f(x + T) = f(x — T) = f(x) = 6;$$

Но при этом условие выполняется:

$$f(2x) = 6;$$ $$f(x) = 6;$$ $$f(2x) = f(x);$$

Ответ: существует.

б) Пусть $y = f(x)$, у которой $f(2x) > f(x)$, тогда:

Такая функция монотонно возрастает при $x > 0$:

$$x > 0;$$ $$2x > x;$$

Значит, эта функция не может быть периодической:

$$x + T > x;$$ $$f(x + T) > f(x);$$ $$f(x + T) \neq f(x);$$

Ответ: не существует.

Часть а)

Условие: Пусть $f(x) = 6$, тогда необходимо проверить два утверждения.

Функция является периодической.

Рассмотрим функцию $f(x) = 6$. Она является постоянной функцией, так как для всех $x$ функция принимает одно и то же значение — 6.

Периодичность функции: Функция называется периодической, если существует такой период $T$, что для любого $x$ выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$. Периодичность также подразумевает, что $f(x) = f(x + nT)$ для любого целого $n$.

Проверим, выполняется ли это условие для функции $f(x) = 6$:

$$f(x + T) = 6$$ $$f(x) = 6$$

Очевидно, что $f(x + T) = f(x)$ всегда выполняется, так как значение функции на всем её промежутке равно 6, независимо от $x$ и $T$. Таким образом, $f(x) = 6$ является периодической функцией с любым $T$, так как:

$$f(x + T) = f(x) = 6$$

Таким образом, утверждение, что функция является периодической, верно.

Условие $f(2x) = 6$ и $f(x) = 6$.

Теперь рассмотрим, как проверяется следующее условие: $f(2x) = f(x)$. Мы знаем, что функция $f(x) = 6$ для всех $x$, и это не зависит от того, заменим ли мы $x$ на $2x$. Таким образом:

$$f(2x) = 6$$ $$f(x) = 6$$

Мы видим, что $f(2x) = f(x)$ выполняется для любого $x$, так как $f(x)$ — постоянная функция. Это означает, что функция удовлетворяет условию $f(2x) = f(x)$.

Ответ для части а): существует.

Часть б)

Условие: Пусть $y = f(x)$, у которой выполняется неравенство $f(2x) > f(x)$, тогда необходимо проверить два утверждения.

Монотонность функции при $x > 0$.

Пусть функция $f(x)$ удовлетворяет условию, что $f(2x) > f(x)$ для всех $x > 0$. Это означает, что для каждого $x > 0$ значение функции при $2x$ строго больше значения функции при $x$. Показатели функции при удвоении аргумента увеличиваются.

Пусть $x > 0$. Из условия $f(2x) > f(x)$ можно сделать вывод, что функция $f(x)$ монотонно возрастает при $x > 0$, то есть для всех $x > 0$ выполняется неравенство:

$$2x > x$$

Так как $f(2x) > f(x)$ и $2x > x$, это означает, что функция $f(x)$ возрастает при $x > 0$.

Невозможность периодичности.

Теперь покажем, что функция не может быть периодической. Для периодической функции должно существовать такое $T > 0$, что для всех $x$ выполняется равенство:

$$f(x + T) = f(x)$$

Однако, если $f(2x) > f(x)$, то для любого $x > 0$ выполняется неравенство $f(x + T) > f(x)$ (при увеличении аргумента значение функции увеличивается). Следовательно:

$$f(x + T) > f(x)$$

Это противоречит условию периодичности функции, так как периодическая функция должна возвращать одно и то же значение для $x$ и $x + T$. Таким образом, функция не может быть периодической, так как для любого значения $T$, при котором функция $f(x)$ должна повторяться, $f(x + T)$ будет больше $f(x)$.

Ответ для части б): не существует.

Заключение:

• В первой части задачи, где функция $f(x) = 6$, мы показали, что эта функция является периодической, и условие $f(2x) = f(x)$ выполняется.
• Во второй части, где функция монотонно возрастает при $x > 0$, мы показали, что такая функция не может быть периодической.

Ответ:

• Для части а): существует.
• Для части б): не существует.