ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.27 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Докажите, что для любого значения x выполняются равенства [x + 1] = [x] + 1, [x — 1] = [x].

б) Докажите, что для любого значения x выполняются равенства {x + 1} = {x} = {x — 1}.

в) Докажите, что функция у = [x] не является периодической.

г) Докажите, что функция у = {x} является периодической с периодом 1.

а) Доказать, что верно равенство $[x + 1] = [x] + 1$;

Пусть $[x + 1] = a \in \mathbb{Z}$, тогда по определению целой части числа:

$$a \leq x + 1 < a + 1;$$ $$a — 1 \leq x < a;$$ $$[x] = a — 1;$$

Таким образом, равенство выполняется при любом значении $x$:

$$[x] + 1 = (a — 1) + 1 = a = [x + 1];$$

Что и требовалось доказать.

б) Доказать, что для любого значения $x$ выполняются равенства:

$$\{x + 1\} = \{x\} = \{x — 1\};$$

Пусть $[x] = a \in \mathbb{Z}$, тогда по определению целой части числа:

$$a \leq x < a + 1;$$ $$a + 1 \leq x + 1 < a + 2 \quad \Rightarrow \quad [x + 1] = a + 1;$$ $$a — 1 \leq x — 1 < a \quad \Rightarrow \quad [x — 1] = a — 1;$$

По определению дробной части числа равенства выполняются:

$$\{x\} = x — [x] = x — a;$$ $$\{x + 1\} = x + 1 — [x + 1] = x + 1 — (a + 1) = x — a;$$ $$\{x — 1\} = x — 1 — [x — 1] = x — 1 — (a — 1) = x — a;$$ $$\{x — 1\} = \{x\} = \{x + 1\};$$

Что и требовалось доказать.

в) Доказать, что функция $y = [x]$ не является периодической;

Пусть $[x] = a \in \mathbb{Z}$, тогда по определению целой части числа:

$$a \leq x < a + 1;$$ $$a + T \leq x + T < a + 1 + T;$$ $$[x + T] = a + T;$$

Значит, функция не является периодической, так как:

$$a \neq a + T;$$ $$[x] \neq [x + T];$$ $$y(x) \neq y(x + T);$$

Что и требовалось доказать.

г) Доказать, что функция $y = \{x\}$ — периодическая с периодом 1;

Пусть $[x] = a \in \mathbb{Z}$, тогда по определению целой части числа:

$$a \leq x < a + 1;$$ $$a + 1 \leq x + 1 < a + 2 \quad \Rightarrow \quad [x + 1] = a + 1;$$ $$a — 1 \leq x — 1 < a \quad \Rightarrow \quad [x — 1] = a — 1;$$

По определению дробной части числа:

$$\{x\} = x — [x] = x — a;$$ $$\{x + 1\} = x + 1 — [x + 1] = x + 1 — (a + 1) = x — a;$$ $$\{x — 1\} = x — 1 — [x — 1] = x — 1 — (a — 1) = x — a;$$

Функция является периодической с периодом 1, так как:

$$\{x — 1\} = \{x\} = \{x + 1\};$$ $$y(x — 1) = y(x) = y(x + 1);$$

Что и требовалось доказать.

а) Доказать, что верно равенство $[x + 1] = [x] + 1$;

1. Введение в задачу:

Необходимо доказать, что целая часть числа $x + 1$ равна целой части числа $x$, увеличенной на 1, то есть:

$$[x + 1] = [x] + 1.$$

Для этого будем использовать определение целой части числа и рассматривать возможные случаи.

2. Формулировка определения целой части:

Целая часть числа $x$ обозначается как $[x]$ и определена как наибольшее целое число, которое не превышает $x$. То есть:

$$[x] \in \mathbb{Z}, \quad x \leq [x] < x + 1.$$

Рассмотрим $x + 1$, для которого нужно найти целую часть.

3. Рассмотрим целую часть $x + 1$:

Пусть $[x + 1] = a$, где $a \in \mathbb{Z}$, то есть целая часть числа $x + 1$ равна некоторому целому числу $a$. По определению целой части числа $x + 1$:

$$a \leq x + 1 < a + 1.$$

Теперь, вычитаем 1 из обеих частей неравенства:

$$a — 1 \leq x < a.$$

Из этого неравенства видно, что целая часть числа $x$ будет равна $a — 1$, то есть:

$$[x] = a — 1.$$

4. Подставим в равенство:

Теперь подставим это значение в выражение для равенства, которое нужно доказать:

$$[x + 1] = a = [x] + 1 = (a — 1) + 1 = a.$$

Таким образом, получаем:

$$[x + 1] = [x] + 1.$$

Это и требовалось доказать.

б) Доказать, что для любого значения $x$ выполняются равенства:

$$\{x + 1\} = \{x\} = \{x — 1\}.$$

1. Введение в задачу:

Необходимо доказать, что дробная часть числа $x + 1$ равна дробной части числа $x$, а также дробной части числа $x — 1$. Дробная часть числа $x$ обозначается как $\{x\}$ и определяется как:

$$\{x\} = x — [x],$$

где $[x]$ — целая часть числа $x$.

2. Анализ дробной части для чисел $x + 1$ и $x — 1$:

Начнем с того, что для любого $x$ выполняется следующее:

$$x = [x] + \{x\},$$

где $[x]$ — целая часть числа $x$, а $\{x\}$ — дробная часть числа $x$.

3. Рассмотрим выражение для $\{x + 1\}$:

Для дробной части числа $x + 1$ мы получаем:

$$\{x + 1\} = (x + 1) — [x + 1].$$

Теперь, по определению целой части, для числа $x + 1$ выполняется:

$$[x + 1] = [x] + 1.$$

Следовательно:

$$\{x + 1\} = (x + 1) — ([x] + 1) = x + 1 — [x] — 1 = x — [x] = \{x\}.$$

Таким образом, мы получили:

$$\{x + 1\} = \{x\}.$$

4. Рассмотрим выражение для $\{x — 1\}$:

Для дробной части числа $x — 1$ мы получаем:

$$\{x — 1\} = (x — 1) — [x — 1].$$

По определению целой части для числа $x — 1$ выполняется:

$$[x — 1] = [x] — 1.$$

Следовательно:

$$\{x — 1\} = (x — 1) — ([x] — 1) = x — 1 — [x] + 1 = x — [x] = \{x\}.$$

Таким образом, мы получили:

$$\{x — 1\} = \{x\}.$$

5. Заключение:

Мы доказали, что:

$$\{x + 1\} = \{x\} = \{x — 1\}.$$

Что и требовалось доказать.

в) Доказать, что функция $y = [x]$ не является периодической;

1. Введение в задачу:

Необходимо доказать, что функция $y = [x]$, которая отображает любое число $x$ в его целую часть, не является периодической. Напоминаем, что функция называется периодической, если существует некоторое $T > 0$, такое что для всех $x$:

$$y(x + T) = y(x).$$

2. Рассмотрим целую часть функции $y = [x]$:

Пусть $y(x) = [x]$ — целая часть числа $x$. Тогда по определению:

$$[y(x)] = [x] \in \mathbb{Z}, \quad x \leq [x] < x + 1.$$

3. Проверим, может ли функция быть периодической:

Предположим, что функция $y(x)$ является периодической с периодом $T > 0$. Тогда для всех $x$ должно выполняться:

$$[y(x + T)] = [y(x)].$$

Это означает, что целая часть числа $x + T$ должна совпадать с целой частью числа $x$, то есть:

$$[x + T] = [x].$$

Однако, это невозможно, так как целая часть числа $x + T$ будет отличаться от целой части числа $x$, если $T$ не является целым числом. Если же $T$ целое, то для некоторых значений $x$ мы можем получить разные целые части, что противоречит свойствам функции целой части.

4. Заключение:

Мы доказали, что функция $y = [x]$ не является периодической.

г) Доказать, что функция $y = \{x\}$ — периодическая с периодом 1;

1. Введение в задачу:

Необходимо доказать, что функция $y = \{x\}$, которая отображает число $x$ в его дробную часть, является периодической с периодом 1. Напоминаем, что функция называется периодической, если существует некоторое $T > 0$, такое что для всех $x$:

$$y(x + T) = y(x).$$

2. Рассмотрим дробную часть функции $y = \{x\}$:

По определению дробной части числа $x$:

$$\{x\} = x — [x],$$

где $[x]$ — целая часть числа $x$.

3. Проверим, может ли функция быть периодической с периодом 1:

Для функции $y(x) = \{x\}$ предполагаем, что $T = 1$. Тогда для всех $x$ должно выполняться:

$$\{x + 1\} = \{x\}.$$

Проверим это:

$$\{x + 1\} = (x + 1) — [x + 1] = x + 1 — ([x] + 1) = x — [x] = \{x\}.$$

Таким образом, мы доказали, что для всех $x$ выполняется:

$$\{x + 1\} = \{x\}.$$

4. Заключение:

Мы доказали, что функция $y = \{x\}$ является периодической с периодом 1.