ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.28 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что 1 — наименьший период функции у = {x}.

Доказать, что число $1$ — наименьший период функции $y = \{x\}$.

По определению периодической функции:

$$f(x — T) = f(x) = f(x + T);$$ $$\{x — T\} = \{x\} = \{x + T\};$$

По определению дробной части числа:

$$(x — T) — [x — T] = x — [x] = (x + T) — [x + T];$$ $$x — T — [x — T] = x — [x];$$ $$-T = -[x] + [x — T];$$ $$T = ([x] — [x — T]) \in \mathbb{Z};$$

Таким образом, число $T$ — целое, а наименьшим положительным целым числом является единица, что и требовалось доказать.

Доказать, что число $1$ — наименьший период функции $y = \{x\}$.

Шаг 1: Определение периодической функции

По определению периодической функции, если функция $f(x)$ периодична с периодом $T$, то для всех $x$ выполняется следующее условие:

$$f(x — T) = f(x) = f(x + T).$$

Это означает, что функция повторяется через каждые $T$ единиц вдоль оси $x$.

Для функции $y = \{x\}$, которая возвращает дробную часть числа $x$, мы имеем:

$$\{x — T\} = \{x\} = \{x + T\}.$$

Таким образом, дробная часть числа $x$ должна быть одинаковой для $x — T$, $x$ и $x + T$, что и является свойством периодической функции.

Шаг 2: Применение определения дробной части

Напомним, что дробная часть числа $x$ определяется как:

$$\{x\} = x — [x],$$

где $[x]$ — целая часть числа $x$.

Теперь рассмотрим выражение для дробной части числа $x — T$ и $x + T$. Воспользуемся тем, что дробная часть зависит от целой части числа:

$$\{x — T\} = (x — T) — [x — T], \quad \{x\} = x — [x], \quad \{x + T\} = (x + T) — [x + T].$$

Из этого получаем, что:

$$(x — T) — [x — T] = x — [x] = (x + T) — [x + T].$$

Данное выражение показывает, что дробная часть числа $x$ совпадает с дробной частью чисел $x — T$ и $x + T$, если $T$ — период.

Шаг 3: Упростим выражение и получим связь для периода $T$

Перепишем уравнение:

$$x — T — [x — T] = x — [x].$$

Теперь сократим одинаковые элементы:

$$-T — [x — T] = -[x],$$

что эквивалентно:

$$-T = -[x] + [x — T].$$

После умножения обеих частей на $-1$, получаем:

$$T = [x] — [x — T].$$

Из этого уравнения видно, что $T$ является разницей целых частей чисел $x$ и $x — T$. Поскольку целая часть любого числа — это целое число, то $T$ также будет целым числом.

Шаг 4: Рассмотрим наименьшее значение $T$

Зная, что $T$ — целое число, теперь можно понять, какое минимальное значение $T$ обеспечит периодичность функции. Очевидно, что наименьшее положительное целое число — это $1$. То есть, наименьший период функции $y = \{x\}$ равен $1$.

Шаг 5: Заключение

Таким образом, мы доказали, что наименьший период функции $y = \{x\}$ равен $1$. То есть:

$$T = 1.$$

Это и требовалось доказать.