ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Может ли областью определения периодической функции быть:

а) отрезок;

б) интервал;

в) луч;

г) множество целых чисел?

Для периодической функции всегда должно выполняться равенство:

$$f(x + kT) = f(x),$$

где $k$ — целое число;

Может ли областью определения периодической функции быть:

а) Отрезок;

1. Пусть дана функция $y = f(x)$ с периодом $T$, у которой $D(f) = [a; b]$;
2. Для числа $x \in D(f)$ всегда существует число $k$, при котором:

   $$x + kT < a;$$ $$x + kT > b;$$

3. Значит функция $f(x + kT)$ не определена, а поэтому не равна $f(x)$;

Ответ: не может.

б) Интервал;

1. Пусть дана функция $y = f(x)$ с периодом $T$, у которой $D(f) = (a; b)$;
2. Для числа $x \in D(f)$ всегда существует число $k$, при котором:

   $$x + kT < a;$$ $$x + kT > b;$$

3. Значит функция $f(x + kT)$ не определена, а поэтому не равна $f(x)$;
4. Однако такого числа $k$ не существует, если $D(f) = (-\infty; +\infty)$;

Ответ: может если $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

в) Луч;

1. Пусть дана функция $y = f(x)$ с периодом $T$, у которой:

   $$D(f) = (a; +\infty);$$ $$D(f) = (-\infty; b);$$

2. Для числа $x \in D(f)$ всегда существует число $k$, при котором:

   $$x + kT < a;$$ $$x + kT > b;$$

3. Значит функция $f(x + kT)$ не определена, а поэтому не равна $f(x)$;

Ответ: не может.

г) Множество целых чисел:

1. Пусть дана функция $y = f(x)$ с периодом $T$, у которой $D(f) = Z$;
2. Если $T$ — целое число, тогда для любого числа $x \in D(f)$ при любом значении числа $k$ верно, что $(x + kT) \in Z$;
3. Значит функция $(x + kT)$ определена и равна функции $f(x)$;

Ответ: может если $T \in Z$.

Задание касается периодической функции $f(x)$ с периодом $T$, где для всех $x$ выполняется равенство:

$$f(x + kT) = f(x),$$

где $k$ — целое число.

Мы рассмотрим различные возможные области определения функции и проверим, могут ли они быть области определения периодической функции.

а) Отрезок

Предположим, что область определения функции $f(x)$ — это отрезок $D(f) = [a, b]$.

Понимание отрезка:

Отрезок $[a, b]$ ограничен с обеих сторон, и он включает все числа от $a$ до $b$, включая $a$ и $b$.

Рассмотрим число $x \in D(f)$:

Для любого числа $x \in [a, b]$ существует целое число $k$, такое что:

$$x + kT < a \quad \text{или} \quad x + kT > b.$$

Это означает, что точка $x + kT$ выходит за пределы отрезка $[a, b]$, и таким образом функция $f(x + kT)$ не определена на этом интервале.

Следствие:

Если для любого $x \in [a, b]$ существует $k$, при котором $x + kT$ выходит за пределы отрезка, то функция $f(x + kT)$ не будет определена на всем этом отрезке. Следовательно, периодическая функция $f(x)$ не может иметь отрезок как область определения, так как значения функции не могут быть определены для всех возможных смещений на период $T$.

Ответ: не может.

б) Интервал

Предположим, что область определения функции $f(x)$ — это открытый интервал $D(f) = (a, b)$.

Понимание интервала:

Интервал $(a, b)$ — это множество всех чисел, строго между $a$ и $b$, исключая сами точки $a$ и $b$.

Рассмотрим число $x \in (a, b)$:

Для любого числа $x \in (a, b)$ существует целое число $k$, при котором:

$$x + kT < a \quad \text{или} \quad x + kT > b.$$

Это значит, что $x + kT$ может выйти за пределы интервала $(a, b)$, и функция $f(x + kT)$ может быть не определена.

Но:

Если область определения функции $D(f)$ — это весь $(-\infty, +\infty)$, то такие значения $x + kT$, которые выходят за пределы интервала, будут иметь определенные значения функции $f(x)$, так как сама функция периодична и может быть определена на всей числовой прямой.

Следствие:

Периодическая функция $f(x)$ может иметь интервал как область определения, если $D(f) = (-\infty, +\infty)$. В противном случае, если область определения ограничена каким-либо интервалом $(a, b)$, периодическая функция не будет определена для всех значений $x + kT$, выходящих за пределы этого интервала.

Ответ: может, если $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

в) Луч

Теперь рассмотрим, может ли областью определения периодической функции быть луч. Мы рассмотрим два случая:

Первый случай: $D(f) = (a, +\infty)$

Понимание луча:

Луч $(a, +\infty)$ — это множество всех чисел, начиная с $a$ и до бесконечности, исключая саму точку $a$.

Рассмотрим число $x \in (a, +\infty)$:

Для любого $x \in (a, +\infty)$ существует целое число $k$, при котором:

$$x + kT < a \quad \text{или} \quad x + kT > +\infty.$$

Это приведет к тому, что точка $x + kT$ может выйти за пределы области определения луча, и функция $f(x + kT)$ не будет определена.

Следствие:

Периодическая функция не может иметь область определения в виде луча, так как значения функции для $x + kT$, выходящие за пределы области $(a, +\infty)$, будут неопределены.

Второй случай: $D(f) = (-\infty, b)$

Понимание луча:

Луч $(-\infty, b)$ — это множество всех чисел, начиная от минус бесконечности до $b$, не включая саму точку $b$.

Рассмотрим число $x \in (-\infty, b)$:

Для любого $x \in (-\infty, b)$ существует целое число $k$, при котором:

$$x + kT < -\infty \quad \text{или} \quad x + kT > b.$$

Это снова приведет к выходу точки $x + kT$ за пределы области, и функция $f(x + kT)$ не будет определена.

Следствие:

Периодическая функция не может иметь область определения в виде луча, так как значения функции для $x + kT$, выходящие за пределы области $(-\infty, b)$, также будут неопределены.

Ответ: не может.

г) Множество целых чисел

Предположим, что область определения функции $f(x)$ — это множество целых чисел, то есть $D(f) = \mathbb{Z}$.

Понимание множества целых чисел:

Множество целых чисел $\mathbb{Z}$ включает все числа вида $x = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots$.

Рассмотрим число $x \in \mathbb{Z}$:

Если $T$ — целое число, то для любого целого числа $x \in \mathbb{Z}$ при любом значении $k$, выполняется следующее:

$$x + kT \in \mathbb{Z}.$$

Таким образом, для каждого $x \in \mathbb{Z}$ и любого $k$ выражение $x + kT$ всегда остается целым числом. Значит, функция $f(x + kT)$ определена на всем множестве целых чисел и равна $f(x)$.

Следствие:

Если период $T$ является целым числом, то функция $f(x)$ может быть определена на множестве целых чисел, так как все значения $x + kT$ будут принадлежать множеству целых чисел, и функция будет периодической.

Ответ: может, если $T \in \mathbb{Z}$.

Итоговые ответы:

а) Отрезок: не может.

б) Интервал: может, если $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

в) Луч: не может.

г) Множество целых чисел: может, если $T \in \mathbb{Z}$.