ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.31 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) у = {x};

б) у = {x — 2,5};

в) у = {2x};

г) у = {|x|}.

а) $y = \{x\} = x — [x]$;

Пусть $[x] = k$, тогда:

$$k \leq x < k + 1;$$ $$0 \leq y < 1;$$

График функции:

Ответ: является.

б) $y = \{x — 2.5\} = (x — 2.5) — [x — 2.5]$;

Пусть $[x — 2.5] = k$, тогда:

$$k \leq x — 2.5 < k + 1;$$ $$k + 2.5 \leq x < k + 3.5;$$ $$0 \leq y < 1;$$

График функции:

Ответ: является.

в) $y = \{2x\} = 2x — [2x]$;

Пусть $[2x] = k$, тогда:

$$k \leq 2x < k + 1;$$ $$\frac{k}{2} \leq x < \frac{k + 1}{2};$$ $$0 \leq y < 1;$$

График функции:

Ответ: является.

г) $y = \{|x|\}$;

Функция является четной:

$$y(-x) = \{|-x|\} = \{|x|\} = y(x);$$

Если $x > 0$, тогда:

$$y = \{x\} = x — [x];$$

Пусть $[x] = k$, тогда:

$$k \leq x < k + 1;$$ $$0 \leq y < 1;$$

График функции:

Ответ: не является.

а) $y = \{x\} = x — [x]$;

1) Определение дробной части:

Дробная часть числа $x$ обозначается как $\{x\}$, и она определяется следующим образом:

$$\{x\} = x — [x],$$

где $[x]$ — это целая часть числа $x$, которая является наибольшим целым числом, не превышающим $x$.

2) Рассмотрим $y = \{x\} = x — [x]$:

Пусть $[x] = k$, где $k$ — целая часть числа $x$. Это означает, что:

$$k \leq x < k + 1.$$

Таким образом, $y = \{x\} = x — k$, и дробная часть $y$ всегда будет лежать в интервале:

$$0 \leq y < 1.$$

Это правило выполняется для любого значения $x$, так как дробная часть всегда меньше 1 и не может быть отрицательной.

3) График функции:

График функции $y = \{x\}$ представляет собой ступенчатую кривую, которая увеличивается от 0 до 1 при движении по интервалу $k \leq x < k + 1$, а затем «сбрасывает» значение на 0 при переходе к следующему интервалу. То есть для каждого интервала $k \leq x < k + 1$ функция будет линейно увеличиваться от 0 до 1.

Ответ: Функция является периодической с периодом 1, и её график — ступенчатая функция, которая плавно увеличивается от 0 до 1 и затем возвращается к 0.

б) $y = \{x — 2.5\} = (x — 2.5) — [x — 2.5]$;

1) Рассмотрим дробную часть $\{x — 2.5\}$:

Пусть $[x — 2.5] = k$, где $k$ — целая часть числа $x — 2.5$. Это означает, что:

$$k \leq x — 2.5 < k + 1.$$

Теперь прибавим 2.5 ко всем частям неравенства:

$$k + 2.5 \leq x < k + 3.5.$$

Таким образом, $y = \{x — 2.5\} = x — 2.5 — [x — 2.5] = x — 2.5 — k$, и дробная часть $y$ будет находиться в интервале:

$$0 \leq y < 1.$$

Это правило выполняется для всех $x$, так как дробная часть всегда будет меньше 1 и не может быть отрицательной.

2) График функции:

График функции $y = \{x — 2.5\}$ будет ступенчатым, аналогично функции $y = \{x\}$, но сдвинутым на 2.5 единицы вправо. Таким образом, на интервале $k + 2.5 \leq x < k + 3.5$ функция будет увеличиваться от 0 до 1, а затем снова будет сбрасываться к 0 при переходе к следующему интервалу.

Ответ: Функция также является периодической с периодом 1, и её график — ступенчатая функция, сдвинутая на 2.5 единицы вправо.

в) $y = \{2x\} = 2x — [2x]$;

1) Рассмотрим дробную часть $\{2x\}$:

Пусть $[2x] = k$, где $k$ — целая часть числа $2x$. Это означает, что:

$$k \leq 2x < k + 1.$$

Теперь разделим обе части неравенства на 2:

$$\frac{k}{2} \leq x < \frac{k + 1}{2}.$$

Таким образом, дробная часть $y = \{2x\} = 2x — k$, и $y$ будет находиться в интервале:

$$0 \leq y < 1.$$

Это правило выполняется для всех значений $x$.

2) График функции:

График функции $y = \{2x\}$ будет ступенчатым, но более «плотным» по сравнению с графиком функции $y = \{x\}$. Это происходит потому, что каждый «степ» будет происходить на интервале $\frac{1}{2}$, а не 1. Таким образом, функция будет совершать скачки дважды быстрее, чем в случае с $y = \{x\}$.

Ответ: Функция является периодической с периодом $\frac{1}{2}$, и её график будет представлять собой более частые скачки, чем у функции $y = \{x\}$.

г) $y = \{|x|\}$;

1) Функция является четной:

Так как функция $y = \{|x|\}$ зависит от модуля $|x|$, она является четной. Это означает, что для всех $x$:

$$y(-x) = \{|-x|\} = \{|x|\} = y(x).$$

Таким образом, график функции симметричен относительно оси $y$.

2) Если $x > 0$, тогда:

Если $x > 0$, то $|x| = x$, и функция будет вести себя как $y = \{x\}$, что уже было рассмотрено в предыдущем пункте:

$$y = \{x\} = x — [x].$$

Для всех $x$, лежащих в интервале $k \leq x < k + 1$, функция будет равна $k$, и $y$ будет лежать в интервале:

$$0 \leq y < 1.$$

3) График функции:

График функции $y = \{|x|\}$ будет похож на график функции $y = \{x\}$, но с симметрией относительно оси $y$. То есть, для положительных $x$ график будет точно таким же, как и для отрицательных $x$, поскольку функция зависит от абсолютного значения $x$.

Ответ: Функция не является периодической, так как график будет симметричен относительно оси $y$, но будет разрывным на каждом целочисленном значении $x$.