ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.34 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а)
$y = \{x — 3,7\} + 3\{2x — 2,5\};$
$y = \left\{\frac{3x}{4} + 0,3\right\} + 5\{x — 11\};$

б)
$y = \{2x\} + \{3x — 2,5\};$
$y = 4 — \{12x — 2,5\} + \{18x\};$

в)
$y = \{0,3x\} + 5\{0,25x\};$
$y = 7\{0,15x\} + 1,1\{0,25x\};$

г)
$y = \left\{\frac{3x}{4}\right\} — \left\{\frac{5x + 2}{3}\right\};$
$y = \left\{6 — \frac{10x}{11}\right\} + 3\left\{\frac{15x + 2}{22}\right\}.$

Основной период функции $y = \{x\}$ равен единице.

а)

$y = \{x — 3,7\} + 3\{2x — 2,5\}$

• Период первой функции:

  $$\{(x + T) — 3,7\} = \{x — 3,7\};$$ $$\{(x — 3,7) + T\} = \{x — 3,7\};$$ $$T_1 = 1;$$

• Период второй функции:

  $$3\{2(x + T) — 2,5\} = 3\{2x — 2,5\};$$ $$\{(2x — 2,5) + 2T\} = \{2x — 2,5\};$$ $$2T_2 = 1 \quad \Rightarrow \quad T_2 = 0,5;$$

Общий период:

$$T_{\text{общ}} = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(1, 0,5) = 1;$$

$y = \left\{\frac{3x}{4} + 0,3\right\} + 5\{x — 11\}$

• Период первой функции:

  $$\left\{\frac{3(x + T)}{4} + 0,3\right\} = \left\{\frac{3x}{4} + 0,3\right\};$$ $$\left\{\left(\frac{3x}{4} + 0,3\right) + \frac{3}{4}T\right\} = \left\{\frac{3x}{4} + 0,3\right\};$$ $$\frac{3}{4}T_1 = 1 \quad \Rightarrow \quad T_1 = \frac{4}{3};$$

• Период второй функции:

  $$5\{(x + T) — 11\} = 5\{x — 11\};$$ $$\{(x — 11) + T\} = \{x — 11\};$$ $$T_2 = 1;$$

• Общий период:

  $$T_{\text{общ}} = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}\left(\frac{4}{3}, 1\right) = 4;$$

Ответ: $1; 4$.

б)

$y = \{2x\} + \{3x — 2,5\}$

• Период первой функции:

  $$\{2(x + T)\} = \{2x\};$$ $$\{2x + 2T\} = \{2x\};$$ $$2T_1 = 1 \quad \Rightarrow \quad T_1 = \frac{1}{2};$$

• Период второй функции:

  $$\{3(x + T) — 2,5\} = \{3x — 2,5\};$$ $$\{(3x — 2,5) + 3T\} = \{3x — 2,5\};$$ $$3T_2 = 1 \quad \Rightarrow \quad T_2 = \frac{1}{3};$$

• Общий период:

  $$T_{\text{общ}} = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right) = 1;$$

$y = 4 — \{12x — 2,5\} + \{18x\}$

• Период первой функции:

  $$4 — \{12(x + T) — 2,5\} = 4 — \{12x — 2,5\};$$ $$-\{12x + 12T — 2,5\} = -\{12x — 2,5\};$$ $$\{(12x — 2,5) + 12T\} = \{12x — 2,5\};$$ $$12T_1 = 1 \quad \Rightarrow \quad T_1 = \frac{1}{12};$$

• Период второй функции:

  $$\{18(x + T)\} = \{18x\};$$ $$\{18x + 18T\} = \{18x\};$$ $$18T_2 = 1 \quad \Rightarrow \quad T_2 = \frac{1}{18};$$

• Общий период:

  $$T_{\text{общ}} = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}\left(\frac{1}{12}, \frac{1}{18}\right) = \frac{1}{6};$$

Ответ: $1; \frac{1}{6}$.

в)

$y = \{0,3x\} + 5\{0,25x\}$

• Период первой функции:

  $$\{0,3(x + T)\} = \{0,3x\};$$ $$\{0,3x + 0,3T\} = \{0,3x\};$$ $$0,3T_1 = 1 \quad \Rightarrow \quad T_1 = 3\frac{1}{3};$$

• Период второй функции:

  $$5\{0,25(x + T)\} = 5\{0,25x\};$$ $$\{0,25x + 0,25T\} = \{0,25x\};$$ $$0,25T_2 = 1 \quad \Rightarrow \quad T_2 = 4;$$

• Общий период:

  $$T_{\text{общ}} = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}\left(3\frac{1}{3}, 4\right) = 20;$$

$y = 7\{0,15x\} + 1,1\{0,25x\}$

• Период первой функции:

  $$7\{0,15(x + T)\} = 7\{0,15x\};$$ $$\{0,15x + 0,15T\} = \{0,15x\};$$ $$0,15T_1 = 1 \quad \Rightarrow \quad T_1 = 6\frac{2}{3};$$

• Период второй функции:

  $$1,1\{0,25(x + T)\} = 1,1\{0,25x\};$$ $$\{0,25x + 0,25T\} = \{0,25x\};$$ $$0,25T_2 = 1 \quad \Rightarrow \quad T_2 = 4;$$

• Общий период:

  $$T_{\text{общ}} = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}\left(6\frac{2}{3}, 4\right) = 20;$$

Ответ: $20; 20$.

г)

$y = \left\{\frac{3x}{4}\right\} — \left\{\frac{5x + 2}{3}\right\}$

• Период первой функции:

  $$\left\{\frac{3(x + T)}{4}\right\} = \left\{\frac{3x}{4}\right\};$$ $$\left\{\frac{3x}{4} + \frac{3}{4}T\right\} = \left\{\frac{3x}{4}\right\};$$ $$\frac{3}{4}T_1 = 1 \quad \Rightarrow \quad T_1 = \frac{4}{3};$$

• Период второй функции:

  $$-\left\{\frac{5(x + T) + 2}{3}\right\} = -\left\{\frac{5x + 2}{3}\right\};$$ $$\left\{\frac{5x + 2}{3} + \frac{5}{3}T\right\} = \left\{\frac{5x + 2}{3}\right\};$$ $$\frac{5}{3}T_2 = 1 \quad \Rightarrow \quad T_2 = \frac{3}{5};$$

• Общий период:

  $$T_{\text{общ}} = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}\left(\frac{4}{3}, \frac{3}{5}\right) = 12;$$

$y = \left\{6 — \frac{10x}{11}\right\} + 3\left\{\frac{15x + 2}{22}\right\}$

• Период первой функции:

  $$\left\{6 — \frac{10(x + T)}{11}\right\} = \left\{6 — \frac{10x}{11}\right\};$$ $$\left\{\left(6 — \frac{10x}{11}\right) — \frac{10}{11}T\right\} = \left\{6 — \frac{10x}{11}\right\};$$ $$\frac{10}{11}T_1 = 1 \quad \Rightarrow \quad T_1 = \frac{11}{10};$$

• Период второй функции:

  $$3\left\{\frac{15(x + T) + 2}{22}\right\} = 3\left\{\frac{15x + 2}{22}\right\};$$ $$\left\{\frac{15x + 2}{22} + \frac{15}{22}T\right\} = \left\{\frac{15x + 2}{22}\right\};$$ $$\frac{15}{22}T_2 = 1 \quad \Rightarrow \quad T_2 = \frac{22}{15};$$

• Общий период:

  $$T_{\text{общ}} = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}\left(\frac{11}{10}, \frac{22}{15}\right) = \frac{22}{5} = 4,4;$$

Ответ: $12; 4,4$.

Основной период функции $y = \{x\}$ равен единице, то есть она повторяется с периодом 1:

$$\{x + 1\} = \{x\}.$$

В этой задаче мы будем искать основной период для различных функций, использующих дробную часть. Рассмотрим каждую часть задания.

а)

1) $y = \{x — 3,7\} + 3\{2x — 2,5\}$

Период первой функции $y_1 = \{x — 3,7\}$:

Рассмотрим период для функции $\{x — 3,7\}$. Период дробной части всегда равен 1, то есть:

$$\{(x + T) — 3,7\} = \{x — 3,7\}.$$

Для того чтобы это условие выполнялось, сдвиг на $T$ должен быть таким, чтобы дробная часть не менялась. Так как дробная часть повторяется каждые 1 единицу, то:

$$T_1 = 1.$$

Таким образом, период первой функции $y_1$ равен $T_1 = 1$.

Период второй функции $y_2 = 3\{2x — 2,5\}$:

Теперь рассмотрим вторую функцию $y_2 = 3\{2x — 2,5\}$. Чтобы найти период этой функции, сначала найдем период самой дробной части $\{2x — 2,5\}$:

$$\{2(x + T) — 2,5\} = \{2x — 2,5\}.$$

Это выражение сводится к следующему:

$$\{(2x — 2,5) + 2T\} = \{2x — 2,5\}.$$

Это условие будет выполнено, если $2T = 1$, так как дробная часть имеет период 1:

$$2T = 1 \quad \Rightarrow \quad T_2 = \frac{1}{2}.$$

Таким образом, период второй функции $y_2$ равен $T_2 = \frac{1}{2}$.

Общий период:

Общий период функции $y = \{x — 3,7\} + 3\{2x — 2,5\}$ будет равен наименьшему общему кратному (НОК) периодов $T_1$ и $T_2$:

$$T_{\text{общ}} = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(1, 0,5) = 1.$$

Итак, общий период равен $T_{\text{общ}} = 1$.

2) $y = \left\{\frac{3x}{4} + 0,3\right\} + 5\{x — 11\}$

Период первой функции $y_1 = \left\{\frac{3x}{4} + 0,3\right\}$:

Период функции $y_1 = \left\{\frac{3x}{4} + 0,3\right\}$ зависит от коэффициента $\frac{3}{4}$ при $x$. Для нахождения периода функции $y_1$, найдем такой $T$, при котором выполняется равенство:

$$\left\{\frac{3(x + T)}{4} + 0,3\right\} = \left\{\frac{3x}{4} + 0,3\right\}.$$

Раскроем левую часть:

$$\left\{\frac{3x}{4} + \frac{3}{4}T + 0,3\right\} = \left\{\frac{3x}{4} + 0,3\right\}.$$

Для выполнения этого условия, нужно чтобы:

$$\frac{3}{4}T = 1 \quad \Rightarrow \quad T_1 = \frac{4}{3}.$$

Итак, период первой функции $y_1$ равен $T_1 = \frac{4}{3}$.

Период второй функции $y_2 = 5\{x — 11\}$:

Для второй функции $y_2 = 5\{x — 11\}$, период дробной части $\{x — 11\}$ равен 1:

$$\{(x + T) — 11\} = \{x — 11\}.$$

Таким образом, период второй функции $y_2$ равен $T_2 = 1$.

Общий период:

Теперь находим общий период. Общий период будет равен НОК периодов $T_1$ и $T_2$:

$$T_{\text{общ}} = \text{НОК}\left(\frac{4}{3}, 1\right) = 4.$$

Итак, общий период функции $y = \left\{\frac{3x}{4} + 0,3\right\} + 5\{x — 11\}$ равен $T_{\text{общ}} = 4$.

Ответ для части а):
$1; 4$.

б)

1) $y = \{2x\} + \{3x — 2,5\}$

Период первой функции $y_1 = \{2x\}$:

Для функции $y_1 = \{2x\}$ период можно найти следующим образом. Мы должны найти такой $T$, при котором выполняется равенство:

$$\{2(x + T)\} = \{2x\}.$$

Раскроем:

$$\{2x + 2T\} = \{2x\}.$$

Это условие выполнится, если:

$$2T = 1 \quad \Rightarrow \quad T_1 = \frac{1}{2}.$$

Таким образом, период первой функции $y_1$ равен $T_1 = \frac{1}{2}$.

Период второй функции $y_2 = \{3x — 2,5\}$:

Для функции $y_2 = \{3x — 2,5\}$, аналогично, найдем период:

$$\{3(x + T) — 2,5\} = \{3x — 2,5\}.$$

Раскроем:

$$\{(3x — 2,5) + 3T\} = \{3x — 2,5\}.$$

Это условие выполнится, если:

$$3T = 1 \quad \Rightarrow \quad T_2 = \frac{1}{3}.$$

Итак, период второй функции $y_2$ равен $T_2 = \frac{1}{3}$.

Общий период:

Общий период будет равен НОК периодов $T_1$ и $T_2$:

$$T_{\text{общ}} = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right) = 1.$$

Итак, общий период функции $y = \{2x\} + \{3x — 2,5\}$ равен $T_{\text{общ}} = 1$.

2) $y = 4 — \{12x — 2,5\} + \{18x\}$

Период первой функции $y_1 = 4 — \{12x — 2,5\}$:

Для функции $y_1 = 4 — \{12x — 2,5\}$, период дробной части $\{12x — 2,5\}$ можно найти следующим образом:

$$\{12(x + T) — 2,5\} = \{12x — 2,5\}.$$

Раскроем:

$$\{12x + 12T — 2,5\} = \{12x — 2,5\}.$$

Это условие выполнится, если:

$$12T = 1 \quad \Rightarrow \quad T_1 = \frac{1}{12}.$$

Таким образом, период первой функции $y_1$ равен $T_1 = \frac{1}{12}$.

Период второй функции $y_2 = \{18x\}$:

Для второй функции $y_2 = \{18x\}$ период можно найти аналогично:

$$\{18(x + T)\} = \{18x\}.$$

Раскроем:

$$\{18x + 18T\} = \{18x\}.$$

Это условие выполнится, если:

$$18T = 1 \quad \Rightarrow \quad T_2 = \frac{1}{18}.$$

Таким образом, период второй функции $y_2$ равен $T_2 = \frac{1}{18}$.

Общий период:

Общий период для функции $y = 4 — \{12x — 2,5\} + \{18x\}$ будет равен НОК периодов $T_1$ и $T_2$:

$$T_{\text{общ}} = \text{НОК}\left(\frac{1}{12}, \frac{1}{18}\right) = \frac{1}{6}.$$

Итак, общий период равен $T_{\text{общ}} = \frac{1}{6}$.

Ответ для части б):
$1; \frac{1}{6}$.

в)

1) $y = \{0,3x\} + 5\{0,25x\}$

Период первой функции $y_1 = \{0,3x\}$:

Для функции $y_1 = \{0,3x\}$ период можно найти следующим образом:

$$\{0,3(x + T)\} = \{0,3x\}.$$

Раскроем:

$$\{0,3x + 0,3T\} = \{0,3x\}.$$

Это условие выполнится, если:

$$0,3T = 1 \quad \Rightarrow \quad T_1 = \frac{10}{3}.$$

Таким образом, период первой функции $y_1$ равен $T_1 = 3\frac{1}{3}$.

Период второй функции $y_2 = 5\{0,25x\}$:

Для второй функции $y_2 = 5\{0,25x\}$ период можно найти аналогично:

$$\{0,25(x + T)\} = \{0,25x\}.$$

Раскроем:

$$\{0,25x + 0,25T\} = \{0,25x\}.$$

Это условие выполнится, если:

$$0,25T = 1 \quad \Rightarrow \quad T_2 = 4.$$

Таким образом, период второй функции $y_2$ равен $T_2 = 4$.

Общий период:

Общий период для функции $y = \{0,3x\} + 5\{0,25x\}$ будет равен НОК периодов $T_1$ и $T_2$:

$$T_{\text{общ}} = \text{НОК}\left(3\frac{1}{3}, 4\right) = 20.$$

Итак, общий период равен $T_{\text{общ}} = 20$.

2) $y = 7\{0,15x\} + 1,1\{0,25x\}$

Период первой функции $y_1 = 7\{0,15x\}$:

Для функции $y_1 = 7\{0,15x\}$ период можно найти аналогично:

$$\{0,15(x + T)\} = \{0,15x\}.$$

Раскроем:

$$\{0,15x + 0,15T\} = \{0,15x\}.$$

Это условие выполнится, если:

$$0,15T = 1 \quad \Rightarrow \quad T_1 = 6\frac{2}{3}.$$

Таким образом, период первой функции $y_1$ равен $T_1 = 6\frac{2}{3}$.

Период второй функции $y_2 = 1,1\{0,25x\}$:

Для второй функции $y_2 = 1,1\{0,25x\}$ период можно найти аналогично:

$$\{0,25(x + T)\} = \{0,25x\}.$$

Раскроем:

$$\{0,25x + 0,25T\} = \{0,25x\}.$$

Это условие выполнится, если:

$$0,25T = 1 \quad \Rightarrow \quad T_2 = 4.$$

Таким образом, период второй функции $y_2$ равен $T_2 = 4$.

Общий период:

Общий период для функции $y = 7\{0,15x\} + 1,1\{0,25x\}$ будет равен НОК периодов $T_1$ и $T_2$:

$$T_{\text{общ}} = \text{НОК}\left(6\frac{2}{3}, 4\right) = 20.$$

Итак, общий период равен $T_{\text{общ}} = 20$.

Ответ для части в):
$20; 20$.

г)

1) $y = \left\{\frac{3x}{4}\right\} — \left\{\frac{5x + 2}{3}\right\}$

Период первой функции $y_1 = \left\{\frac{3x}{4}\right\}$:

Для функции $y_1 = \left\{\frac{3x}{4}\right\}$ период можно найти следующим образом:

$$\left\{\frac{3(x + T)}{4}\right\} = \left\{\frac{3x}{4}\right\}.$$

Раскроем:

$$\left\{\frac{3x}{4} + \frac{3}{4}T\right\} = \left\{\frac{3x}{4}\right\}.$$

Это условие выполнится, если:

$$\frac{3}{4}T = 1 \quad \Rightarrow \quad T_1 = \frac{4}{3}.$$

Таким образом, период первой функции $y_1$ равен $T_1 = \frac{4}{3}$.

Период второй функции $y_2 = \left\{\frac{5x + 2}{3}\right\}$:

Для второй функции $y_2 = \left\{\frac{5x + 2}{3}\right\}$ период можно найти аналогично:

$$\left\{\frac{5(x + T) + 2}{3}\right\} = \left\{\frac{5x + 2}{3}\right\}.$$

Раскроем:

$$\left\{\frac{5x + 2}{3} + \frac{5}{3}T\right\} = \left\{\frac{5x + 2}{3}\right\}.$$

Это условие выполнится, если:

$$\frac{5}{3}T = 1 \quad \Rightarrow \quad T_2 = \frac{3}{5}.$$

Таким образом, период второй функции $y_2$ равен $T_2 = \frac{3}{5}$.

Общий период:

Общий период для функции $y = \left\{\frac{3x}{4}\right\} — \left\{\frac{5x + 2}{3}\right\}$ будет равен НОК периодов $T_1$ и $T_2$:

$$T_{\text{общ}} = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}\left(\frac{4}{3}, \frac{3}{5}\right) = 12.$$

Итак, общий период равен $T_{\text{общ}} = 12$.

2) $y = \left\{6 — \frac{10x}{11}\right\} + 3\left\{\frac{15x + 2}{22}\right\}$

Период первой функции $y_1 = \left\{6 — \frac{10x}{11}\right\}$:

Для функции $y_1 = \left\{6 — \frac{10x}{11}\right\}$ период можно найти следующим образом:

$$\left\{6 — \frac{10(x + T)}{11}\right\} = \left\{6 — \frac{10x}{11}\right\}.$$

Раскроем:

$$\left\{\left(6 — \frac{10x}{11}\right) — \frac{10}{11}T\right\} = \left\{6 — \frac{10x}{11}\right\}.$$

Это

условие выполнится, если:

$$\frac{10}{11}T = 1 \quad \Rightarrow \quad T_1 = \frac{11}{10}.$$

Таким образом, период первой функции $y_1$ равен $T_1 = \frac{11}{10}$.

Период второй функции $y_2 = 3\left\{\frac{15x + 2}{22}\right\}$:

Для второй функции $y_2 = 3\left\{\frac{15x + 2}{22}\right\}$ период можно найти аналогично:

$$\left\{\frac{15(x + T) + 2}{22}\right\} = \left\{\frac{15x + 2}{22}\right\}.$$

Раскроем:

$$\left\{\frac{15x + 2}{22} + \frac{15}{22}T\right\} = \left\{\frac{15x + 2}{22}\right\}.$$

Это условие выполнится, если:

$$\frac{15}{22}T = 1 \quad \Rightarrow \quad T_2 = \frac{22}{15}.$$

Таким образом, период второй функции $y_2$ равен $T_2 = \frac{22}{15}$.

Общий период:

Общий период для функции $y = \left\{6 — \frac{10x}{11}\right\} + 3\left\{\frac{15x + 2}{22}\right\}$ будет равен НОК периодов $T_1$ и $T_2$:

$$T_{\text{общ}} = \text{НОК}\left(\frac{11}{10}, \frac{22}{15}\right) = \frac{22}{5} = 4,4.$$

Итак, общий период равен $T_{\text{общ}} = 4,4$.

Ответ для части г):
$12; 4,4$.