ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.36 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Четная функция $y = f(x)$ с периодом $T = 8$ и функцией $y = \sqrt{x + 1}$ на отрезке $[0; 4]$. Необходимо решить несколько уравнений и неравенств для этой функции на различных отрезках:

а) $f(x) = 0$;

б) $f(x) = 1$;

в) $f(x) \geq 0,97$;

г) $f(x) \geq 2$, $(-4 \leq x \leq 8)$

Дана четная функция:

• $y = f(x)$ с периодом $T = 8$;
• $y = \sqrt{x + 1}$ на отрезке $[0; 4]$;

а) $f(x) = 0$;

Решим уравнение на отрезке $[0; 4]$:

$$\sqrt{x + 1} = 0;$$ $$x + 1 = 0;$$ $$x = -1;$$

Ответ: корней нет.

б) $f(x) = 1$;

Решим уравнение на отрезке $[0; 4]$:

$$\sqrt{x + 1} = 1;$$ $$x + 1 = 1;$$ $$x = 0;$$

Все периоды функции:

$$T_{\text{общ}} = kT = 8k;$$

Ответ: $x = 8k$.

в) $f(x) \geq 0,97$;

Решим неравенство на отрезке $[0; 4]$:

$$\sqrt{x + 1} \geq 0,97;$$ $$x + 1 \geq 0,97;$$ $$x \geq -0,03;$$ $$0 \leq x \leq 4;$$

Так как данная функция четная:

$$-4 \leq x \leq 0;$$

Неравенство верно на всем периоде:

$$-4 \leq x \leq 4;$$

Ответ: $(-∞; +∞)$.

г) $f(x) \geq 2$, $(-4 \leq x \leq 8)$;

Решим неравенство на отрезке $[0; 4]$:

$$\sqrt{x + 1} \geq 2;$$ $$x + 1 \geq 4;$$ $$x \geq 3;$$ $$3 \leq x \leq 4;$$

Так как данная функция четная:

$$-4 \leq x \leq -3;$$

На первом периоде имеем:

$$[-4; -3] \cup [3; 4];$$

На втором периоде $(x + 8)$:

$$[4; 5] \cup [11; 12];$$

На искомом отрезке $(-4 \leq x \leq 8)$:

$$[-4; -3] \cup [3; 4] \cup [4; 5];$$

Ответ: $[-4; -3] \cup [3; 5]$.

Дано:

Четная функция $y = f(x)$ с периодом $T = 8$ и функцией $y = \sqrt{x + 1}$ на отрезке $[0; 4]$.

Необходимо решить несколько уравнений и неравенств для этой функции на различных отрезках.

Пункт а) $f(x) = 0$

Условие:

Необходимо решить уравнение $f(x) = 0$ на отрезке $[0; 4]$, где $f(x) = \sqrt{x + 1}$.

Решение:

Подставим функцию $f(x) = \sqrt{x + 1}$ в уравнение:

$$\sqrt{x + 1} = 0$$

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части в квадрат:

$$(\sqrt{x + 1})^2 = 0^2$$ $$x + 1 = 0$$

Из полученного уравнения $x + 1 = 0$ решим для $x$:

$$x = -1$$

Однако, нужно проверить, попадает ли найденное значение $x = -1$ в отрезок $[0; 4]$. Видно, что $-1$ не принадлежит этому отрезку.

Ответ: на отрезке $[0; 4]$ решений нет.

Пункт б) $f(x) = 1$

Условие:

Необходимо решить уравнение $f(x) = 1$ на отрезке $[0; 4]$, где $f(x) = \sqrt{x + 1}$.

Решение:

Подставим функцию $f(x) = \sqrt{x + 1}$ в уравнение:

$$\sqrt{x + 1} = 1$$

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части в квадрат:

$$(\sqrt{x + 1})^2 = 1^2$$ $$x + 1 = 1$$

Из полученного уравнения $x + 1 = 1$ решим для $x$:

$$x = 0$$

Проверим, что $x = 0$ попадает в отрезок $[0; 4]$. Видно, что $x = 0$ — это решение, принадлежащее отрезку.

Все периоды функции $f(x)$ — это значения $x = 0$ на отрезке $[0; 4]$, плюс все сдвиги функции на целые кратные периода. Период функции $f(x)$ равен $T = 8$, поэтому:

$$x = 8k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $x = 8k$, где $k$ — целое число.

Пункт в) $f(x) \geq 0,97$

Условие:

Необходимо решить неравенство $f(x) \geq 0,97$ на отрезке $[0; 4]$, где $f(x) = \sqrt{x + 1}$.

Решение:

Подставим функцию $f(x) = \sqrt{x + 1}$ в неравенство:

$$\sqrt{x + 1} \geq 0,97$$

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части в квадрат:

$$(\sqrt{x + 1})^2 \geq (0,97)^2$$ $$x + 1 \geq 0,9409$$

Переносим $1$ в правую часть:

$$x \geq -0,0591$$

Теперь нужно учесть, что $x$ должно лежать на отрезке $[0; 4]$. Таким образом, на данном отрезке $x \geq 0$, поэтому:

$$0 \leq x \leq 4$$

Так как функция $f(x) = \sqrt{x + 1}$ является четной, для $x \geq 0$ мы можем сделать симметричное расширение этого отрезка на левую часть:

Таким образом, решение неравенства на всем периоде будет:

$$-4 \leq x \leq 4$$

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

Пункт г) $f(x) \geq 2$, $(-4 \leq x \leq 8)$

Условие:

Необходимо решить неравенство $f(x) \geq 2$ на отрезке $(-4 \leq x \leq 8)$, где $f(x) = \sqrt{x + 1}$.

Решение:

Подставим функцию $f(x) = \sqrt{x + 1}$ в неравенство:

$$\sqrt{x + 1} \geq 2$$

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части в квадрат:

$$(\sqrt{x + 1})^2 \geq 2^2$$ $$x + 1 \geq 4$$ $$x \geq 3$$

Таким образом, неравенство $f(x) \geq 2$ выполнено на отрезке $[3; 4]$ на отрезке $[0; 4]$.

Так как функция четная, отрезок симметричен относительно нуля, и для $x \in [0; 4]$ решение будет $[-4; -3]$.

На первом периоде ($x \in [-4; 4]$):

$$[-4; -3] \cup [3; 4]$$

На втором периоде (сдвиг на $+8$):

$$[4; 5] \cup [11; 12]$$

Ограничиваемся отрезком $[-4; 8]$, и результат будет:

$$[-4; -3] \cup [3; 4] \cup [4; 5]$$

Ответ: $[-4; -3] \cup [3; 5]$.