ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть $y = f(x)$ — периодическая функция с периодом 4, определенная для всех действительных значений $x$, причем $f(3) = 5$; $f(4) = 11$; $f(5) = 9$ и $f(6) = 0$. Сравните:

а) $f(1)$ и $f(31)$;

б) $f(11)$ и $f(110)$;

в) $f(-17)$ и $f(831)$;

г) $f(6 + \sqrt[3]{3})$ и $f(\sqrt[3]{3} — 6)$.

Функция $y = f(x)$ — периодическая с периодом $T = 4$;

Известно, что $f(3) = 5$, $f(4) = 11$, $f(5) = 9$ и $f(6) = 0$;

а) $f(1)$ и $f(31)$;

$f(1) = f(5 — 4) = f(5 — T) = f(5) = 9$;

$f(31) = f(3 + 7 \cdot 4) = f(3 + 7T) = f(3) = 5$;

Ответ: $f(1) > f(31)$.

б) $f(11)$ и $f(110)$;

$f(11) = f(3 + 2 \cdot 4) = f(3 + 2T) = f(3) = 5$;

$f(110) = f(6 + 26 \cdot 4) = f(6 + 26T) = f(6) = 0$;

Ответ: $f(11) > f(110)$.

в) $f(-17)$ и $f(831)$;

$f(-17) = f(3 — 5 \cdot 4) = f(3 — 5T) = f(3) = 5$;

$f(831) = f(3 + 207 \cdot 4) = f(3 + 207T) = f(3) = 5$;

Ответ: $f(-17) = f(831)$.

г) $f(6 + \sqrt[3]{3})$ и $f(\sqrt[3]{3} — 6)$;

$f(6 + \sqrt[3]{3}) = f(2 + \sqrt[3]{3} + 4) = f(2 + \sqrt[3]{3} + T) = f(2 + \sqrt[3]{3})$;

$f(\sqrt[3]{3} — 6) = f(2 + \sqrt[3]{3} — 2 \cdot 4) = f(2 + \sqrt[3]{3} — 2T) = f(2 + \sqrt[3]{3})$;

Ответ: $f(6 + \sqrt[3]{3}) = f(\sqrt[3]{3} — 6)$.

Функция $y = f(x)$ является периодической с периодом $T = 4$. Это означает, что для любого $x$ выполняется равенство:

$$f(x + T) = f(x), \quad \text{где } T = 4.$$

В задаче также даны следующие значения функции в определенных точках:

$$f(3) = 5, \quad f(4) = 11, \quad f(5) = 9, \quad f(6) = 0.$$

Нам нужно найти значения функции в других точках с использованием свойства периодичности.

а) Найти $f(1)$ и $f(31)$

1.1) Вычисление $f(1)$:

Для того чтобы найти значение $f(1)$, используем свойство периодичности функции. Период функции равен $T = 4$, следовательно, чтобы преобразовать $1$ в более удобное для вычислений значение, мы можем найти эквивалентную точку относительно известной точки.

Начнем с того, что $f(1)$ можно выразить как:

$$f(1) = f(5 — 4) = f(5 — T).$$

Поскольку $f(5) = 9$, то:

$$f(1) = 9.$$

1.2) Вычисление $f(31)$:

Аналогично, для нахождения значения $f(31)$, воспользуемся периодичностью. Для этого представим 31 как $3 + 7 \times 4$, так как $31 = 3 + 7 \times 4$, и используем свойство периодичности:

$$f(31) = f(3 + 7 \cdot 4) = f(3 + 7T) = f(3).$$

Так как $f(3) = 5$, получаем:

$$f(31) = 5.$$

Ответ для а):

$$f(1) = 9, \quad f(31) = 5.$$

Итак, $f(1) > f(31)$.

б) Найти $f(11)$ и $f(110)$

2.1) Вычисление $f(11)$:

Теперь вычислим значение функции в точке $f(11)$. Мы можем выразить 11 как $3 + 2 \times 4$, то есть $11 = 3 + 2 \times 4$. Тогда:

$$f(11) = f(3 + 2 \cdot 4) = f(3 + 2T) = f(3).$$

Так как $f(3) = 5$, получаем:

$$f(11) = 5.$$

2.2) Вычисление $f(110)$:

Теперь находим значение $f(110)$. Представим 110 как $6 + 26 \times 4$, то есть $110 = 6 + 26 \times 4$. Используя периодичность, получаем:

$$f(110) = f(6 + 26 \cdot 4) = f(6 + 26T) = f(6).$$

Так как $f(6) = 0$, то:

$$f(110) = 0.$$

Ответ для б):

$$f(11) = 5, \quad f(110) = 0.$$

Итак, $f(11) > f(110)$.

в) Найти $f(-17)$ и $f(831)$

3.1) Вычисление $f(-17)$:

Теперь вычислим значение функции в точке $f(-17)$. Мы можем выразить $-17$ как $3 — 5 \times 4$, то есть $-17 = 3 — 5 \times 4$. Тогда:

$$f(-17) = f(3 — 5 \cdot 4) = f(3 — 5T) = f(3).$$

Так как $f(3) = 5$, получаем:

$$f(-17) = 5.$$

3.2) Вычисление $f(831)$:

Теперь находим значение $f(831)$. Мы можем выразить $831$ как $3 + 207 \times 4$, то есть $831 = 3 + 207 \times 4$. Тогда:

$$f(831) = f(3 + 207 \cdot 4) = f(3 + 207T) = f(3).$$

Так как $f(3) = 5$, получаем:

$$f(831) = 5.$$

Ответ для в):

$$f(-17) = 5, \quad f(831) = 5.$$

Итак, $f(-17) = f(831)$.

г) Найти $f(6 + \sqrt[3]{3})$ и $f(\sqrt[3]{3} — 6)$

4.1) Вычисление $f(6 + \sqrt[3]{3})$:

Для нахождения $f(6 + \sqrt[3]{3})$ сначала представим аргумент $6 + \sqrt[3]{3}$ в виде $2 + \sqrt[3]{3} + 4$, то есть:

$$6 + \sqrt[3]{3} = 2 + \sqrt[3]{3} + 4.$$

Так как функция периодична с периодом $T = 4$, то:

$$f(6 + \sqrt[3]{3}) = f(2 + \sqrt[3]{3} + 4) = f(2 + \sqrt[3]{3} + T) = f(2 + \sqrt[3]{3}).$$

4.2) Вычисление $f(\sqrt[3]{3} — 6)$:

Теперь для нахождения $f(\sqrt[3]{3} — 6)$ представим аргумент $\sqrt[3]{3} — 6$ в виде $2 + \sqrt[3]{3} — 2 \times 4$, то есть:

$$\sqrt[3]{3} — 6 = 2 + \sqrt[3]{3} — 2 \times 4.$$

Тогда:

$$f(\sqrt[3]{3} — 6) = f(2 + \sqrt[3]{3} — 2 \cdot 4) = f(2 + \sqrt[3]{3} — 2T) = f(2 + \sqrt[3]{3}).$$

Ответ для г):

$$f(6 + \sqrt[3]{3}) = f(\sqrt[3]{3} — 6).$$

Итоговые ответы:

а) $f(1) > f(31)$

б) $f(11) > f(110)$

в) $f(-17) = f(831)$

г) $f(6 + \sqrt[3]{3}) = f(\sqrt[3]{3} — 6)$