ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Является ли функция y = f(x) периодической:

а) $f(x) = 2$

б) $f(x) = \frac{1 — x^4}{1 — x^2} — \sqrt{x^4}$

в) $f(x) = \frac{x^2 — 9}{x — 3} — 3$

г) $f(x)=\frac{1-x^4}{1+x^2}+\sqrt{x^4}\frac{}{}$

Выяснить, является ли функция периодической;

а) $f(x) = 2$;

Функция определена на множестве $R$;

$f(x + T) = f(x) = 2$;

Ответ: является.

б) $f(x) = \frac{1 — x^4}{1 — x^2} — \sqrt{x^4}$;

Функция не определена при:

$1 — x^2 = 0$;

$x^2 = 1$;

$x = \pm 1$;

Ответ: не является.

в) $f(x) = \frac{x^2 — 9}{x — 3} — 3$;

Функция не определена при:

$x — 3 = 0$;

$x = 3$;

Ответ: не является.

г) $f(x) = \frac{1 — x^4}{1 + x^2} + \sqrt{x^4} = \frac{(1 — x^2)(1 + x^2)}{1 + x^2} + x^2 = 1 — x^2 + x^2 = 1$;

Функция определена на множестве $R$;

$f(x + T) = f(x) = 1$;

Ответ: является.

Определение периодической функции:

Функция $f(x)$ называется периодической, если существует некоторое $T > 0$, такое что для всех $x$ из области определения функции выполняется равенство:

$$f(x + T) = f(x)$$

Параметр $T$ называется периодом функции. Если такой $T$ существует, то функция периодична.

а) $f(x) = 2$

Решение:

Рассмотрим функцию $f(x) = 2$. Эта функция — константа.

Определена она на всей действительной оси $R$, то есть область определения $f(x)$ — это $R$.

Для любого $x \in R$, $f(x) = 2$. Это означает, что независимо от того, какое значение $x$ мы подставим, функция всегда будет равна 2.

Теперь проверим, выполняется ли условие периодичности. Пусть $T$ — это период функции. Подставляем в выражение для функции:

$$f(x + T) = 2$$

и

$$f(x) = 2$$

Получаем, что для любого $x$ и любого $T$ (независимо от его значения) выполняется $f(x + T) = f(x)$.

Таким образом, функция $f(x) = 2$ является периодической для любого значения $T$. Следовательно, $f(x)$ является периодической функцией, и её периодом может быть любое $T > 0$.

Ответ: является.

б) $f(x) = \frac{1 — x^4}{1 — x^2} — \sqrt{x^4}$

Решение:

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1 — x^4}{1 — x^2} — \sqrt{x^4}$.

Начнем с упрощения функции:

• Часть $\sqrt{x^4} = x^2$, так как $x^4 = (x^2)^2$, а корень из квадрата $x^2$ — это $|x^2| = x^2$, так как $x^2 \geq 0$ для всех $x$.
• Таким образом, функция $f(x)$ может быть записана как:

  $$f(x) = \frac{1 — x^4}{1 — x^2} — x^2$$

Рассмотрим область определения функции. Функция не определена там, где знаменатель выражения $\frac{1 — x^4}{1 — x^2}$ обращается в ноль, то есть там, где $1 — x^2 = 0$, что означает:

$$x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1$$

Таким образом, функция не определена при $x = 1$ и $x = -1$.

Проверим, является ли функция периодической. Для этого нам нужно найти такой $T > 0$, что для всех $x$ из области определения функции выполнено $f(x + T) = f(x)$.

Попробуем проверить периодичность через подстановку значений и анализ значений функции на интервалах. Однако функция не имеет очевидной периодичности, так как при $x = \pm 1$ она не определена, а сама функция не ведет себя как стандартная тригонометрическая или элементарная периодическая функция.

Следовательно, можно утверждать, что функция не является периодической.

Ответ: не является.

в) $f(x) = \frac{x^2 — 9}{x — 3} — 3$

Решение:

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x^2 — 9}{x — 3} — 3$.

Преобразуем выражение:

• Заметим, что $x^2 — 9$ можно разложить по формуле разности квадратов:

  $$x^2 — 9 = (x — 3)(x + 3)$$

• Тогда:

  $$f(x) = \frac{(x — 3)(x + 3)}{x — 3} — 3$$

• При $x \neq 3$ можно сократить $x — 3$ в числителе и знаменателе:

  $$f(x) = x + 3 — 3 = x$$

Функция $f(x)$ при $x \neq 3$ упрощается до $f(x) = x$.

Однако, функция не определена при $x = 3$, так как в исходном выражении появляется деление на ноль.

Теперь проверим, является ли функция периодической. Функция $f(x) = x$ — это линейная функция, которая не является периодической, так как для любого $T > 0$, $f(x + T) = x + T \neq x = f(x)$. Линейная функция не может быть периодической, поскольку её значения изменяются бесконечно.

Следовательно, функция не является периодической.

Ответ: не является.

г) $f(x) = \frac{1 — x^4}{1 + x^2} + \sqrt{x^4}$

Решение:

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1 — x^4}{1 + x^2} + \sqrt{x^4}$.

Начнем с упрощения:

• $\sqrt{x^4} = x^2$, как было указано ранее.
• Функция преобразуется в:

  $$f(x) = \frac{1 — x^4}{1 + x^2} + x^2$$

Попробуем упростить первую часть:

• Разложим числитель $1 — x^4$ по формуле разности квадратов:

  $$1 — x^4 = (1 — x^2)(1 + x^2)$$

• Подставим это в выражение для $f(x)$:

  $$f(x) = \frac{(1 — x^2)(1 + x^2)}{1 + x^2} + x^2$$

• Сократим $1 + x^2$ в числителе и знаменателе:

  $$f(x) = 1 — x^2 + x^2 = 1$$

Таким образом, функция $f(x) = 1$ для всех значений $x$, и она является константой.

Поскольку $f(x) = 1$ для всех $x$, это константная функция, которая, как и функция $f(x) = 2$, является периодической с любым периодом $T > 0$.

Ответ: является.