ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите:

а) если 3 — период функции $y = f(x)$, то 6 — также период данной функции;

б) если 9 — период функции $y = f(x)$, то 9 — период функции $y = 5f(x + 2) — 1$;

в) если 2 — период функции $y = f(x)$, то 8 — также период данной функции;

г) если 5 — период функции $y = f(x)$, то 5 — период функции $y = -3f(2 — x) + 25$.

а) Пусть дана функция $y = f(x)$ с периодом $T = 3$, тогда:

$$y(x) = y(x + 3) = y((x + 3) + 3) \quad \Rightarrow \quad y(x) = y(x + 6);$$ $$y(x) = y(x — 3) = y((x — 3) — 3) \quad \Rightarrow \quad y(x) = y(x — 6);$$ $$y(x — 6) = y(x) = y(x + 6).$$

Число 6 является периодом функции, что и требовалось доказать.

б) Пусть дана функция $y = f(x)$ с периодом $T_1 = 9$, тогда:

Найдем период функции $y = f(x + 2)$:

$$f((x \pm T_2) + 2) = f(x + 2);$$ $$f((x + 2) \pm T_2) = f(x + 2);$$ $$T_2 = T_1 = 9.$$

Остальные величины не являются переменными в функции $y = 5f(x + 2) + 1$, значит число $T_2 = 9$ является ее периодом, что и требовалось доказать.

в) Пусть дана функция $y = f(x)$ с периодом $T = 2$, тогда:

$$y(x) = y(x + 2) = y((x + 2) + 2) \quad \Rightarrow \quad y(x) = y(x + 4);$$ $$y(x) = y(x + 4) = y((x + 4) + 4) \quad \Rightarrow \quad y(x) = y(x + 8);$$ $$y(x) = y(x — 2) = y((x — 2) — 2) \quad \Rightarrow \quad y(x) = y(x — 4);$$ $$y(x) = y(x — 4) = y((x — 4) — 4) \quad \Rightarrow \quad y(x) = y(x — 8);$$ $$y(x — 8) = y(x) = y(x + 8).$$

Число 8 является периодом функции, что и требовалось доказать.

г) Пусть дана функция $y = f(x)$ с периодом $T_1 = 5$, тогда:

Найдем период функции $y = f(2 — x)$:

$$f(2 — (x \pm T_2)) = f(2 — x);$$ $$f((2 — x) \pm T_2) = f(2 — x);$$ $$T_2 = T_1 = 5.$$

Остальные величины не являются переменными в функции $y = -3f(2 — x) + 25$, значит число $T_2 = 5$ является ее периодом, что и требовалось доказать.

а) Пусть дана функция $y = f(x)$ с периодом $T = 3$, то есть:

$$f(x + T) = f(x) \quad \text{для всех } x.$$

Это означает, что график функции $f(x)$ повторяется каждые 3 единицы на оси $x$.

Нам нужно доказать, что 6 является периодом функции $f(x)$.

Шаг 1: Рассмотрим функцию $y(x) = f(x)$ с периодом $T = 3$. Из этого следует, что:

$$f(x + 3) = f(x).$$

Теперь проверим, что функция сохраняет свой вид при смещении на 6 единиц.

Шаг 2: Рассмотрим $y(x + 6)$. Используем свойство периодичности:

$$y(x + 6) = f(x + 6).$$

Заметим, что:

$$x + 6 = x + 3 + 3.$$

По свойству периодичности $f(x + 3) = f(x)$, следовательно:

$$f(x + 6) = f(x).$$

Таким образом, мы получаем, что:

$$y(x + 6) = f(x + 6) = f(x) = y(x).$$

Шаг 3: Аналогично можно рассмотреть $y(x — 6)$. Используем тот же принцип:

$$y(x — 6) = f(x — 6).$$

Заметим, что:

$$x — 6 = x — 3 — 3.$$

По свойству периодичности $f(x — 3) = f(x)$, следовательно:

$$f(x — 6) = f(x).$$

Таким образом:

$$y(x — 6) = f(x — 6) = f(x) = y(x).$$

Шаг 4: Получаем, что:

$$y(x + 6) = y(x) = y(x — 6).$$

То есть при сдвиге функции $y(x)$ на 6 единиц мы получаем ту же самую функцию. Это означает, что 6 является периодом функции.

Ответ: Число 6 является периодом функции, что и требовалось доказать.

б) Пусть дана функция $y = f(x)$ с периодом $T_1 = 9$, то есть:

$$f(x + 9) = f(x).$$

Нам нужно найти период функции $y = f(x + 2)$.

Шаг 1: Рассмотрим $y(x) = f(x + 2)$, где $f(x)$ имеет период $T_1 = 9$. Это означает, что для функции $y(x) = f(x + 2)$:

$$f(x + 2 + 9) = f(x + 2),$$

то есть, при сдвиге $x + 2$ на 9, функция остаётся неизменной.

Шаг 2: Подставим $x + 2$ вместо $x$:

$$f((x + 2) + 9) = f(x + 2).$$

Таким образом, период функции $y(x) = f(x + 2)$ равен 9.

Шаг 3: Теперь проверим период функции $y(x) = 5f(x + 2) + 1$. Заметим, что константы и множители не влияют на период, так как они не изменяют форму функции. Таким образом:

$$y(x) = 5f(x + 2) + 1 \quad \text{имеет тот же период, что и} \quad f(x + 2),$$

то есть период этой функции тоже равен 9.

Ответ: Период функции $y(x) = 5f(x + 2) + 1$ равен 9, что и требовалось доказать.

в) Пусть дана функция $y = f(x)$ с периодом $T = 2$, то есть:

$$f(x + 2) = f(x).$$

Нам нужно доказать, что 8 является периодом функции.

Шаг 1: Рассмотрим функцию $y(x) = f(x)$ с периодом $T = 2$. Из этого следует, что:

$$f(x + 2) = f(x).$$

Теперь проверим, что период функции $y(x)$ составляет 8.

Шаг 2: Рассмотрим $y(x + 4)$:

$$y(x + 4) = f(x + 4).$$

Заметим, что:

$$x + 4 = x + 2 + 2.$$

По свойству периодичности $f(x + 2) = f(x)$, следовательно:

$$f(x + 4) = f(x).$$

Таким образом:

$$y(x + 4) = f(x + 4) = f(x) = y(x).$$

Шаг 3: Рассмотрим $y(x + 8)$:

$$y(x + 8) = f(x + 8).$$

Заметим, что:

$$x + 8 = x + 4 + 4.$$

По свойству периодичности $f(x + 4) = f(x)$, следовательно:

$$f(x + 8) = f(x).$$

Таким образом:

$$y(x + 8) = f(x + 8) = f(x) = y(x).$$

Шаг 4: Получаем, что:

$$y(x + 8) = y(x).$$

То есть при сдвиге функции $y(x)$ на 8 единиц мы получаем ту же самую функцию. Это означает, что 8 является периодом функции.

Ответ: Число 8 является периодом функции, что и требовалось доказать.

г) Пусть дана функция $y = f(x)$ с периодом $T_1 = 5$, то есть:

$$f(x + 5) = f(x).$$

Нам нужно найти период функции $y = f(2 — x)$.

Шаг 1: Рассмотрим функцию $y(x) = f(2 — x)$. Для её периода рассмотрим $y(x + T_2) = f(2 — (x + T_2))$. Мы должны найти $T_2$, такое что:

$$f(2 — (x + T_2)) = f(2 — x).$$

Это эквивалентно:

$$f(2 — x — T_2) = f(2 — x).$$

Согласно свойству периодичности функции $f(x)$, для этого должно быть выполнено:

$$T_2 = 5.$$

Таким образом, период функции $y(x) = f(2 — x)$ равен 5.

Шаг 2: Рассмотрим функцию $y(x) = -3f(2 — x) + 25$. Так как множители и константы не изменяют период функции, период этой функции также равен 5.

Ответ: Период функции $y(x) = -3f(2 — x) + 25$ равен 5, что и требовалось доказать.

Итоговый ответ:

1. Для функции с периодом 3, период 6.
2. Для функции с периодом 9, период 9.
3. Для функции с периодом 2, период 8.
4. Для функции с периодом 5, период 5.