ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите:

а) если $3$ — период функции $y = f(x)$, то $6$ — период функции $y = 5f(0.5x + 2) — 1$;

б) если $9$ — период функции $y = f(x)$, то $3$ — период функции $y = 3 — 1.4f(3x — 7)$;

в) если $2$ — период функции $y = f(x)$, то $3$ — период функции $y = 100f\left(\frac{2x — 11}{3}\right) + 7$;

г) если $5$ — период функции $y = f(x)$, то $1$ — период функции $y = 81 — 3f(0.7 — 5x)$.

а) Пусть дана функция $y = f(x)$ с периодом $T_1 = 3$, тогда:

Найдем период функции $y = f(0.5x + 2)$:

$$f(0.5(x \pm T_2) + 2) = f(0.5x + 2);$$ $$f((0.5x + 2) \pm 0.5T_2) = f(0.5x + 2);$$ $$0.5T_2 = T_1;$$ $$T_2 = \frac{T_1}{0.5} = \frac{3}{0.5} = 6;$$

Остальные величины не являются переменными в функции $y = 5f(0.5x + 2) — 1$, значит число $T_2 = 6$ является ее периодом, что и требовалось доказать.

б) Пусть дана функция $y = f(x)$ с периодом $T_1 = 9$, тогда:

Найдем период функции $y = f(3x — 7)$:

$$f(3(x \pm T_2) — 7) = f(3x — 7);$$ $$f((3x — 7) \pm 3T_2) = f(3x — 7);$$ $$3T_2 = T_1;$$ $$T_2 = \frac{T_1}{3} = \frac{9}{3} = 3;$$

Остальные величины не являются переменными в функции $y = 3 — 1.4f(3x — 7)$, значит число $T_2 = 3$ является ее периодом, что и требовалось доказать.

в) Пусть дана функция $y = f(x)$ с периодом $T_1 = 2$, тогда:

Найдем период функции $y = f\left(\frac{2x — 11}{3}\right)$:

$$f\left(\frac{2(x \pm T_2) — 11}{3}\right) = f\left(\frac{2x — 11}{3}\right);$$ $$f\left(\frac{(2x — 11) \pm \frac{2}{3}T_2}{3}\right) = f\left(\frac{2x — 11}{3}\right);$$ $$\frac{2}{3}T_2 = T_1;$$ $$T_2 = \frac{3}{2}T_1 = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3;$$

Остальные величины не являются переменными в функции $y = 100f\left(\frac{2x — 11}{3}\right) + 7$, значит число $T_2 = 3$ является ее периодом, что и требовалось доказать.

г) Пусть дана функция $y = f(x)$ с периодом $T_1 = 5$, тогда:

Найдем период функции $y = f(0.7 — 5x)$:

$$f(0.7 — 5(x \pm T_2)) = f(0.7 — 5x);$$ $$f((0.7 — 5x) \pm 5T_2) = f(0.7 — 5x);$$ $$5T_2 = T_1;$$ $$T_2 = \frac{T_1}{5} = \frac{5}{5} = 1;$$

Остальные величины не являются переменными в функции $y = 81 — 3f(0.7 — 5x)$, значит число $T_2 = 1$ является ее периодом, что и требовалось доказать.

а) Пусть дана функция $y = f(x)$ с периодом $T_1 = 3$. Это означает, что:

$$f(x + 3) = f(x) \quad \text{для всех } x.$$

Нам нужно найти период функции $y = f(0.5x + 2)$, то есть определить, через какое значение $T_2$ функция $f(0.5x + 2)$ будет повторяться.

Шаг 1: Рассмотрим функцию $y(x) = f(0.5x + 2)$. Нам нужно найти такой период $T_2$, чтобы функция $y(x)$ удовлетворяла условию периодичности, то есть:

$$f(0.5(x \pm T_2) + 2) = f(0.5x + 2).$$

Таким образом, выражение в функции $f$ должно изменяться на период $T_2$, то есть:

$$f((0.5x + 2) \pm 0.5T_2) = f(0.5x + 2).$$

Суть задачи заключается в том, чтобы найти значение $T_2$, при котором данное выражение будет повторяться, то есть не изменяться.

Шаг 2: Для того чтобы $f((0.5x + 2) \pm 0.5T_2) = f(0.5x + 2)$ при любом $x$, необходимо, чтобы $0.5T_2$ равнялось $T_1$ (периоду функции $f$):

$$0.5T_2 = T_1.$$

Шаг 3: Подставляем $T_1 = 3$:

$$0.5T_2 = 3.$$

Теперь решим это уравнение относительно $T_2$:

$$T_2 = \frac{3}{0.5} = 6.$$

Таким образом, период функции $y(x) = f(0.5x + 2)$ равен $T_2 = 6$.

Шаг 4: Для функции $y = 5f(0.5x + 2) — 1$ константы и множители не влияют на период, так как они не изменяют форму функции $f(x)$. Таким образом, период этой функции также будет $T_2 = 6$.

Ответ: Период функции $y = 5f(0.5x + 2) — 1$ равен 6, что и требовалось доказать.

б) Пусть дана функция $y = f(x)$ с периодом $T_1 = 9$. То есть:

$$f(x + 9) = f(x) \quad \text{для всех } x.$$

Нам нужно найти период функции $y = f(3x — 7)$, то есть определить, через какое значение $T_2$ функция $f(3x — 7)$ будет повторяться.

Шаг 1: Рассмотрим функцию $y(x) = f(3x — 7)$. Найдем такой период $T_2$, что:

$$f(3(x \pm T_2) — 7) = f(3x — 7).$$

Используя свойство периодичности функции $f(x)$, получаем:

$$f((3x — 7) \pm 3T_2) = f(3x — 7).$$

Здесь $3T_2$ должно быть равно $T_1$, чтобы функция повторялась:

$$3T_2 = T_1.$$

Шаг 2: Подставляем $T_1 = 9$:

$$3T_2 = 9.$$

Решаем это уравнение относительно $T_2$:

$$T_2 = \frac{9}{3} = 3.$$

Таким образом, период функции $y(x) = f(3x — 7)$ равен $T_2 = 3$.

Шаг 3: Для функции $y = 3 — 1.4f(3x — 7)$ константы и множители не изменяют период функции $f(x)$. Поэтому период этой функции также будет $T_2 = 3$.

Ответ: Период функции $y = 3 — 1.4f(3x — 7)$ равен 3, что и требовалось доказать.

в) Пусть дана функция $y = f(x)$ с периодом $T_1 = 2$. То есть:

$$f(x + 2) = f(x) \quad \text{для всех } x.$$

Нам нужно найти период функции $y = f\left(\frac{2x — 11}{3}\right)$.

Шаг 1: Рассмотрим функцию $y(x) = f\left(\frac{2x — 11}{3}\right)$. Для этой функции необходимо найти такой период $T_2$, чтобы:

$$f\left(\frac{2(x \pm T_2) — 11}{3}\right) = f\left(\frac{2x — 11}{3}\right).$$

Это равенство означает, что выражение внутри функции $f$ при изменении $x$ на $T_2$ не должно изменяться. Пишем:

$$f\left(\frac{(2x — 11) \pm \frac{2}{3}T_2}{3}\right) = f\left(\frac{2x — 11}{3}\right).$$

Таким образом, периодичность функции будет зависеть от значения $\frac{2}{3}T_2$, которое должно быть равно $T_1$:

$$\frac{2}{3}T_2 = T_1.$$

Шаг 2: Подставляем $T_1 = 2$:

$$\frac{2}{3}T_2 = 2.$$

Решаем это уравнение относительно $T_2$:

$$T_2 = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3.$$

Таким образом, период функции $y(x) = f\left(\frac{2x — 11}{3}\right)$ равен $T_2 = 3$.

Шаг 3: Для функции $y = 100f\left(\frac{2x — 11}{3}\right) + 7$ константы и множители не изменяют период функции. Таким образом, период этой функции также будет $T_2 = 3$.

Ответ: Период функции $y = 100f\left(\frac{2x — 11}{3}\right) + 7$ равен 3, что и требовалось доказать.

г) Пусть дана функция $y = f(x)$ с периодом $T_1 = 5$. То есть:

$$f(x + 5) = f(x) \quad \text{для всех } x.$$

Нам нужно найти период функции $y = f(0.7 — 5x)$.

Шаг 1: Рассмотрим функцию $y(x) = f(0.7 — 5x)$. Нам нужно найти такой период $T_2$, чтобы:

$$f(0.7 — 5(x \pm T_2)) = f(0.7 — 5x).$$

Из этого следует:

$$f((0.7 — 5x) \pm 5T_2) = f(0.7 — 5x).$$

Это условие выполняется, если $5T_2 = T_1$, то есть:

$$5T_2 = T_1.$$

Шаг 2: Подставляем $T_1 = 5$:

$$5T_2 = 5.$$

Решаем это уравнение относительно $T_2$:

$$T_2 = \frac{5}{5} = 1.$$

Таким образом, период функции $y(x) = f(0.7 — 5x)$ равен $T_2 = 1$.

Шаг 3: Для функции $y = 81 — 3f(0.7 — 5x)$ константы и множители не изменяют период функции $f(x)$. Поэтому период этой функции также будет $T_2 = 1$.

Ответ: Период функции $y = 81 — 3f(0.7 — 5x)$ равен 1, что и требовалось доказать.

Итоговый ответ:

1. Период функции $y = f(0.5x + 2)$ равен 6.
2. Период функции $y = f(3x — 7)$ равен 3.
3. Период функции $y = f\left(\frac{2x — 11}{3}\right)$ равен 3.
4. Период функции $y = f(0.7 — 5x)$ равен 1.