ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите все такие натуральные числа n, при которых является натуральным числом выражение:

а) (3n+7)/n;

б) (3n+14)/(n+2);

в) (7n+27)/n;

г) (8n+77)/(2n+1).

Найти при каких натуральных значениях $n$ выражение является натуральным числом;

а) $\frac{3n + 7}{n} = \frac{3n}{n} + \frac{7}{n} = 3 + \frac{7}{n}$;

Делители числа семь: $1; 7$;

Ответ: $1; 7$.

б) $\frac{7n + 27}{n} = \frac{7n}{n} + \frac{27}{n} = 7 + \frac{27}{n}$;

Делители числа двадцать семь: $1; 3; 9; 27$;

Ответ: $1; 3; 9; 27$.

в) $\frac{3n + 14}{n + 2} = \frac{3n + 6 + 8}{n + 2} = \frac{3(n + 2)}{n + 2} + \frac{8}{n + 2} = 3 + \frac{8}{n + 2}$;

Делители числа восемь: $1; 2; 4; 8$;

$n + 2 = 1$, отсюда $n = -1$;

$n + 2 = 2$, отсюда $n = 0$;

$n + 2 = 4$, отсюда $n = 2$;

$n + 2 = 8$, отсюда $n = 6$;

Ответ: $2; 6$.

г) $\frac{8n + 77}{2n + 1} = \frac{8n + 4 + 73}{2n + 1} = \frac{4(2n + 1)}{2n + 1} + \frac{73}{2n + 1} = 4 + \frac{73}{2n + 1}$;

Делители числа семьдесят три: $1; 73$;

$2n + 1 = 1$, отсюда $n = 0$;

$2n + 1 = 73$, отсюда $n = \frac{72}{2} = 36$;

Ответ: $36$.

а) $\frac{3n + 7}{n} = \frac{3n}{n} + \frac{7}{n} = 3 + \frac{7}{n}$

Шаг 1: Разбор условия

Нам нужно найти такие натуральные числа $n$, при которых выражение $\frac{3n + 7}{n}$ является натуральным числом. Это выражение можно разделить на две части:

$$\frac{3n + 7}{n} = \frac{3n}{n} + \frac{7}{n} = 3 + \frac{7}{n}$$

Мы видим, что чтобы выражение было натуральным числом, дробь $\frac{7}{n}$ должна быть целым числом, то есть $n$ должно быть делителем числа 7.

Шаг 2: Нахождение делителей числа 7

Число 7 имеет два делителя: $1$ и $7$.

Шаг 3: Подстановка значений

Теперь подставим эти значения $n$ в выражение $3 + \frac{7}{n}$:

• Для $n = 1$:

  $$3 + \frac{7}{1} = 3 + 7 = 10$$

  Это натуральное число.

• Для $n = 7$:

  $$3 + \frac{7}{7} = 3 + 1 = 4$$

  Это также натуральное число.

Шаг 4: Ответ

Таким образом, натуральные значения $n$, при которых выражение $\frac{3n + 7}{n}$ является натуральным числом, это $n = 1$ и $n = 7$.

Ответ: $1; 7$.

б) $\frac{7n + 27}{n} = \frac{7n}{n} + \frac{27}{n} = 7 + \frac{27}{n}$

Шаг 1: Разбор условия

Нам нужно найти такие натуральные числа $n$, при которых выражение $\frac{7n + 27}{n}$ является натуральным числом. Это выражение можно записать как:

$$\frac{7n + 27}{n} = \frac{7n}{n} + \frac{27}{n} = 7 + \frac{27}{n}$$

Чтобы выражение было натуральным числом, дробь $\frac{27}{n}$ должна быть целым числом, то есть $n$ должно быть делителем числа 27.

Шаг 2: Нахождение делителей числа 27

Число 27 имеет следующие делители: $1, 3, 9, 27$.

Шаг 3: Подстановка значений

Теперь подставим эти значения $n$ в выражение $7 + \frac{27}{n}$:

• Для $n = 1$:

  $$7 + \frac{27}{1} = 7 + 27 = 34$$

  Это натуральное число.

• Для $n = 3$:

  $$7 + \frac{27}{3} = 7 + 9 = 16$$

  Это также натуральное число.

• Для $n = 9$:

  $$7 + \frac{27}{9} = 7 + 3 = 10$$

  Это также натуральное число.

• Для $n = 27$:

  $$7 + \frac{27}{27} = 7 + 1 = 8$$

  Это также натуральное число.

Шаг 4: Ответ

Таким образом, натуральные значения $n$, при которых выражение $\frac{7n + 27}{n}$ является натуральным числом, это $n = 1, 3, 9, 27$.

Ответ: $1; 3; 9; 27$.

в) $\frac{3n + 14}{n + 2} = \frac{3n + 6 + 8}{n + 2} = \frac{3(n + 2)}{n + 2} + \frac{8}{n + 2} = 3 + \frac{8}{n + 2}$

Шаг 1: Разбор условия

Нам нужно найти такие натуральные числа $n$, при которых выражение $\frac{3n + 14}{n + 2}$ является натуральным числом. Это выражение можно записать так:

$$\frac{3n + 14}{n + 2} = 3 + \frac{8}{n + 2}$$

Для того чтобы выражение $3 + \frac{8}{n + 2}$ было натуральным числом, дробь $\frac{8}{n + 2}$ должна быть целым числом. То есть $n + 2$ должно быть делителем числа 8.

Шаг 2: Нахождение делителей числа 8

Число 8 имеет следующие делители: $1, 2, 4, 8$.

Шаг 3: Подстановка значений

Теперь подставим эти значения $n + 2$ и найдем соответствующие значения $n$:

• Для $n + 2 = 1$, отсюда $n = -1$ (не натуральное число).
• Для $n + 2 = 2$, отсюда $n = 0$ (не натуральное число).
• Для $n + 2 = 4$, отсюда $n = 2$.
• Для $n + 2 = 8$, отсюда $n = 6$.

Шаг 4: Ответ

Таким образом, натуральные значения $n$, при которых выражение $\frac{3n + 14}{n + 2}$ является натуральным числом, это $n = 2$ и $n = 6$.

Ответ: $2; 6$.

г) $\frac{8n + 77}{2n + 1} = \frac{8n + 4 + 73}{2n + 1} = \frac{4(2n + 1)}{2n + 1} + \frac{73}{2n + 1} = 4 + \frac{73}{2n + 1}$

Шаг 1: Разбор условия

Нам нужно найти такие натуральные числа $n$, при которых выражение $\frac{8n + 77}{2n + 1}$ является натуральным числом. Это выражение можно записать как:

$$\frac{8n + 77}{2n + 1} = 4 + \frac{73}{2n + 1}$$

Для того чтобы выражение $4 + \frac{73}{2n + 1}$ было натуральным числом, дробь $\frac{73}{2n + 1}$ должна быть целым числом. То есть $2n + 1$ должно быть делителем числа 73.

Шаг 2: Нахождение делителей числа 73

Число 73 является простым, и его делителями являются только $1$ и $73$.

Шаг 3: Подстановка значений

Теперь подставим эти значения $2n + 1$ и найдем соответствующие значения $n$:

• Для $2n + 1 = 1$, отсюда $n = 0$.
• Для $2n + 1 = 73$, отсюда $n = \frac{72}{2} = 36$.

Шаг 4: Ответ

Таким образом, натуральное значение $n$, при котором выражение $\frac{8n + 77}{2n + 1}$ является натуральным числом, это $n = 36$.

Ответ: $36$.

Итоговые ответы:

1. $n = 1; 7$ для выражения $\frac{3n + 7}{n}$.
2. $n = 1; 3; 9; 27$ для выражения $\frac{7n + 27}{n}$.
3. $n = 2; 6$ для выражения $\frac{3n + 14}{n + 2}$.
4. $n = 36$ для выражения $\frac{8n + 77}{2n + 1}$.