ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 90 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Найдите наименьшее целое значение р, при котором разность дробей (3-р)/4 и (5-2р)/18 отрицательна.

б) Найдите наибольшее целое значение k, при котором сумма дробей (5 — 2k)/4 и (9 + 2k)/6 положительна.

а) Даны дроби: $\frac{3-p}{4}$ и $\frac{5-2p}{18}$;

Разность дробей отрицательна, если:

$$\frac{3-p}{4} — \frac{5-2p}{18} < 0 \quad | \cdot 36;$$ $$9(3-p) — 2(5-2p) < 0;$$ $$27 — 9p — 10 + 4p < 0;$$ $$-5p + 17 < 0;$$ $$5p > 17;$$ $$p > \frac{17}{5}, \text{отсюда } p > 3,4;$$

Наименьшее целое значение: $p = 4$;
Ответ: $p = 4$.

б) Даны дроби: $\frac{5-2k}{4}$ и $\frac{9+2k}{6}$;

Сумма дробей положительна, если:

$$\frac{5-2k}{4} + \frac{9+2k}{6} > 0 \quad | \cdot 12;$$ $$3(5-2k) + 2(9+2k) > 0;$$ $$15 — 6k + 18 + 4k > 0;$$ $$-2k + 33 > 0;$$ $$2k < 33;$$ $$k < \frac{33}{2}, \text{отсюда } k < 16,5;$$

Наибольшее целое значение: $k = 16$;
Ответ: $k = 16$.

а) Даны дроби: $\frac{3-p}{4}$ и $\frac{5-2p}{18}$.

Мы решаем задачу с разностью двух дробей. Нам нужно найти, при каком значении параметра $p$ разность этих дробей будет отрицательной. То есть, нужно решить неравенство:

$$\frac{3-p}{4} — \frac{5-2p}{18} < 0$$

Шаг 1: Приведение дробей к общему знаменателю

Для упрощения, приведем обе дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 4 и 18 — это 36. Умножим числители и знаменатели каждой дроби на такие множители, чтобы они имели знаменатель 36.

Первая дробь:

$$\frac{3-p}{4} = \frac{(3-p) \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{9(3-p)}{36}$$

Вторая дробь:

$$\frac{5-2p}{18} = \frac{(5-2p) \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{2(5-2p)}{36}$$

Теперь у нас есть:

$$\frac{9(3-p)}{36} — \frac{2(5-2p)}{36}$$

Шаг 2: Объединение дробей

Так как у нас общий знаменатель 36, мы можем объединить дроби:

$$\frac{9(3-p) — 2(5-2p)}{36} < 0$$

Шаг 3: Упрощение числителя

Теперь упростим числитель:

$$9(3-p) — 2(5-2p) = 27 — 9p — 10 + 4p = 17 — 5p$$

Таким образом, неравенство принимает вид:

$$\frac{17 — 5p}{36} < 0$$

Шаг 4: Решение неравенства

Для того чтобы дробь была отрицательной, числитель должен быть отрицательным (так как знаменатель 36 положительный, то знак дроби зависит только от числителя). Таким образом, решаем неравенство:

$$17 — 5p < 0$$

Переносим $5p$ на правую сторону:

$$-5p < -17$$

Делим обе части на $-5$ (не забываем при этом, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется):

$$p > \frac{17}{5}$$

Таким образом, $p > 3,4$.

Шаг 5: Наименьшее целое значение

Наименьшее целое значение $p$, которое удовлетворяет неравенству $p > 3,4$, это $p = 4$.

Ответ: $p = 4$.

б) Даны дроби: $\frac{5-2k}{4}$ и $\frac{9+2k}{6}$.

Теперь решим задачу с суммой двух дробей. Нам нужно найти, при каком значении параметра $k$ сумма этих дробей будет положительной. То есть, нужно решить неравенство:

$$\frac{5-2k}{4} + \frac{9+2k}{6} > 0$$

Шаг 1: Приведение дробей к общему знаменателю

Для упрощения, приведем обе дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 4 и 6 — это 12. Умножим числители и знаменатели каждой дроби на такие множители, чтобы они имели знаменатель 12.

Первая дробь:

$$\frac{5-2k}{4} = \frac{(5-2k) \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3(5-2k)}{12}$$

Вторая дробь:

$$\frac{9+2k}{6} = \frac{(9+2k) \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2(9+2k)}{12}$$

Теперь у нас есть:

$$\frac{3(5-2k)}{12} + \frac{2(9+2k)}{12}$$

Шаг 2: Объединение дробей

Так как у нас общий знаменатель 12, мы можем объединить дроби:

$$\frac{3(5-2k) + 2(9+2k)}{12} > 0$$

Шаг 3: Упрощение числителя

Теперь упростим числитель:

$$3(5-2k) + 2(9+2k) = 15 — 6k + 18 + 4k = 33 — 2k$$

Таким образом, неравенство принимает вид:

$$\frac{33 — 2k}{12} > 0$$

Шаг 4: Решение неравенства

Так как знаменатель 12 положительный, знак дроби зависит только от числителя. Поэтому решаем неравенство:

$$33 — 2k > 0$$

Переносим $2k$ на правую сторону:

$$33 > 2k$$

Делим обе части на 2:

$$k < \frac{33}{2}$$

Таким образом, $k < 16,5$.

Шаг 5: Наибольшее целое значение

Наибольшее целое значение $k$, которое удовлетворяет неравенству $k < 16,5$, это $k = 16$.

Ответ: $k = 16$.

Итоговые ответы:

• а) $p = 4$
• б) $k = 16$