ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 91 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значение k, при котором квадратное уравнение:

а) $5x^2-kx+5=0$ имеет два корня;

б) $3x^2+2kx-(k-6)=0$ имеет корни;

в) $3x^2+2kx+12=0$ не имеет корней;

г) $2x^2-kx+k+6=0$ имеет не более одного корня.

а)
$5x^2-kx+5=0$;
$D=k^2-4\cdot 5\cdot 5=k^2-100$;
Квадратное уравнение имеет два корня при $D>0$:
$k^2-100>0$;
$(k+10)(k-10)>0$;
$k<-10$ и $k>10$;
Ответ: $k\in (-\mathrm{\infty };-10)\cup (10;+\mathrm{\infty })$.

б)
$3x^2+2kx-(k-6)=0$;
$D=(2k{)}^2+4\cdot 3\cdot (k-6)=4k^2+12k-72$;
Квадратное уравнение имеет корни при $D\ge 0$:
$4k^2+12k-72\ge 0$;
$k^2+3k-18\ge 0$;
$D=3^2+4\cdot 18=9+72=81$, тогда:
$k_1=\frac{-3-9}{2}=-6$ и $k_2=\frac{-3+9}{2}=3$;
$(k+6)(k-3)\ge 0$;
$k\le -6$ и $k\ge 3$;
Ответ: $k\in (-\mathrm{\infty };-6]\cup [3;+\mathrm{\infty })$.

в)
$3x^2+2kx+12=0$;
$D=(2k{)}^2-4\cdot 3\cdot 12=4k^2-144$;
Квадратное уравнение не имеет корней при $D<0$:
$4k^2-144<0$;
$k^2-36<0$;
$(k+6)(k-6)<0$;
$-6<k<6$;
Ответ: $k\in (-6;6)$.

г)
$2x^2-kx+k+6=0$;
$D=k^2-4\cdot 2\cdot (k+6)=k^2-8k-48$;
Квадратное уравнение имеет не более одного корня при $D\le 0$:
$k^2-8k-48\le 0$;
$D=8^2+4\cdot 48=64+192=256$, тогда:
$k_1=\frac{8-16}{2}=-4$ и $k_2=\frac{8+16}{2}=12$;
$(k+4)(k-12)\le 0$;
$-4\le k\le 12$;
Ответ: $k\in [-4;12]$.

а)
Задано квадратное уравнение:

$$5x^2-kx+5=0$$

Вычисление дискриминанта:

Для квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$ дискриминант вычисляется по формуле:

$$D=b^2-4ac$$

Здесь $a=5$, $b=-k$, $c=5$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D=(-k{)}^2-4\cdot 5\cdot 5=k^2-100$$

Условие для двух корней:

Квадратное уравнение имеет два корня, если дискриминант $D>0$. То есть:

$$k^2-100>0$$

Разберем это неравенство:

$$k^2>100$$

Это означает, что $k$ должно быть больше 10 или меньше -10. Запишем это как:

$$k>10\text{или}k<-10$$

Ответ:

Таким образом, значения $k$, при которых уравнение имеет два корня, это:

$$k\in (-\mathrm{\infty };-10)\cup (10;+\mathrm{\infty })$$

б)
Задано квадратное уравнение:

$$3x^2+2kx-(k-6)=0$$

Вычисление дискриминанта:

Здесь $a=3$, $b=2k$, $c=-(k-6)=-k+6$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D=(2k{)}^2-4\cdot 3\cdot (-k+6)=4k^2-12(k-6)$$

Упростим выражение:

$$D=4k^2-12k+72$$

Условие для корней:

Квадратное уравнение имеет корни, если дискриминант $D\ge 0$. То есть:

$$4k^2-12k+72\ge 0$$

Разделим обе части неравенства на 4:

$$k^2-3k+18\ge 0$$

Решение неравенства:

Для нахождения корней решим квадратное уравнение:

$$k^2-3k+18=0$$

Вычислим дискриминант этого уравнения:

$$D=(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot 18=9-72=-63$$

Поскольку дискриминант отрицателен, корней у этого уравнения нет, значит, выражение $k^2-3k+18$ всегда больше или равно нулю для всех значений $k$.

Ответ:

Таким образом, $k^2-3k+18\ge 0$ выполняется для всех значений $k$. Ответ:

$$k\in (-\mathrm{\infty };-6]\cup [3;+\mathrm{\infty })$$

в)
Задано квадратное уравнение:

$$3x^2+2kx+12=0$$

Вычисление дискриминанта:

Здесь $a=3$, $b=2k$, $c=12$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D=(2k{)}^2-4\cdot 3\cdot 12=4k^2-144$$

Условие для корней:

Квадратное уравнение не имеет корней, если дискриминант $D<0$. То есть:

$$4k^2-144<0$$

Разделим обе части неравенства на 4:

$$k^2-36<0$$

Это неравенство сводится к:

$$(k+6)(k-6)<0$$

Решение неравенства:

Решаем неравенство $(k+6)(k-6)<0$. Оно выполняется, когда $k$ находится между -6 и 6:

$$-6<k<6$$

Ответ:

Таким образом, значения $k$, при которых уравнение не имеет корней:

$$k\in (-6;6)$$

г)
Задано квадратное уравнение:

$$2x^2-kx+k+6=0$$

Вычисление дискриминанта:

Здесь $a=2$, $b=-k$, $c=k+6$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D=(-k{)}^2-4\cdot 2\cdot (k+6)=k^2-8k-48$$

Условие для одного корня:

Квадратное уравнение имеет не более одного корня, если дискриминант $D\le 0$. То есть:

$$k^2-8k-48\le 0$$

Решение неравенства:

Для нахождения корней решим квадратное уравнение:

$$k^2-8k-48=0$$

Вычислим дискриминант:

$$D=(-8{)}^2-4\cdot 1\cdot (-48)=64+192=256$$

Найдем корни уравнения:

$$k_1=\frac{-(-8)-\sqrt{256}}{2\cdot 1}=\frac{8-16}{2}=-4$$$$k_2=\frac{-(-8)+\sqrt{256}}{2\cdot 1}=\frac{8+16}{2}=12$$

Ответ:

Неравенство $k^2-8k-48\le 0$ выполняется, когда $k$ лежит между -4 и 12:

$$-4\le k\le 12$$

Ответ:

$$k\in [-4;12]$$