ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 92 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Квадратичная функция задана уравнением:

а) $y=12-3x^2$

б) $y=0,5(x-2{)}^2$

в) $y=-(x-1{)}^2+4$

г) $y=2x^2-4x+5$

Не выполняя построения графика, определите:

1) координаты вершины параболы;

2) ось симметрии параболы;

3) промежутки возрастания и убывания функции;

4) наибольшее либо наименьшее значение функции;

5) множество значений функции.

а) $y=12-3x^2=-3x^2+0x+12$;

Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2\cdot (-3)}=0;$$$$y=12-3\cdot 0^2=12;$$

Ось симметрии параболы: $x=0$;

Промежутки монотонности:

• Возрастает на $(-\mathrm{\infty };0)$;
• Убывает на $(0;+\mathrm{\infty })$;

Наибольшее значение: $y=12$;

Множество значений: $E(y)=(-\mathrm{\infty };12)$;

б) $y=0,5(x-2{)}^2=0,5x^2-2x+2$;

Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot 0,5}=2;$$$$y=0,5\cdot 2^2-2\cdot 2+2=2-4+2=0;$$

Ось симметрии параболы: $x=2$;

Промежутки монотонности:

• Возрастает на $(2;+\mathrm{\infty })$;
• Убывает на $(-\mathrm{\infty };2)$;

Наименьшее значение: $y=0$;

Множество значений: $E(y)=(0;+\mathrm{\infty })$;

в) $y=-(x-1{)}^2+4=-x^2+2x+3$;

Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot (-1)}=1;$$$$y=-1^2+2\cdot 1+3=4;$$

Ось симметрии параболы: $x=1$;

Промежутки монотонности:

• Возрастает на $(-\mathrm{\infty };1)$;
• Убывает на $(1;+\mathrm{\infty })$;

Наибольшее значение: $y=4$;

Множество значений: $E(y)=(-\mathrm{\infty };4)$;

г) $y=2x^2-4x+5$;

Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot 2}=1;$$$$y=2\cdot 1^2-4\cdot 1+5=3;$$

Ось симметрии параболы: $x=1$;

Промежутки монотонности:

• Возрастает на $(1;+\mathrm{\infty })$;
• Убывает на $(-\mathrm{\infty };1)$;

Наименьшее значение: $y=3$;

Множество значений: $E(y)=(3;+\mathrm{\infty })$

а) $y=12-3x^2=-3x^2+0x+12$

Координаты вершины параболы:

Парабола имеет вид $y=a{x}^2+bx+c$, где:

$$a=-3,b=0,c=12$$

Формула для нахождения абсциссы вершины параболы:

$$x_{\text{верш}}=-\frac{b}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_{\text{верш}}=-\frac{0}{2\cdot (-3)}=0$$

Таким образом, абсцисса вершины равна $x=0$.

Теперь находим ординату вершины. Для этого подставим $x=0$ в уравнение параболы:

$$y=12-3\cdot 0^2=12$$

Ордината вершины $y=12$.

Итак, координаты вершины параболы: $(0,12)$.

Ось симметрии параболы:

Ось симметрии всегда проходит через абсциссу вершины параболы. Таким образом, ось симметрии:

$$x=0$$

Промежутки монотонности:

Чтобы определить промежутки монотонности (на которых функция возрастает или убывает), нужно рассмотреть знак коэффициента $a$ в уравнении параболы.

• Если $a<0$ (как в данном случае), то парабола открывается вниз, и функция будет убывать после вершины и возрастать до вершины.

Таким образом:

• Функция возрастает на промежутке $(-\mathrm{\infty };0)$, так как значение $x$ движется к вершине.
• Функция убывает на промежутке $(0;+\mathrm{\infty })$, так как значение $x$ выходит из вершины.

Наибольшее значение:

Поскольку парабола открывается вниз, наибольшее значение функции будет достигаться в вершине.

• Наибольшее значение функции $y=12$.

Множество значений:

Парабола открывается вниз, поэтому значения функции будут ограничены сверху и стремиться к минус бесконечности, то есть:

$$E(y)=(-\mathrm{\infty };12)$$

б) $y=0,5(x-2{)}^2=0,5x^2-2x+2$

Координаты вершины параболы:

Преобразуем уравнение параболы в стандартный вид:

$$y=0,5(x-2{)}^2=0,5x^2-2x+2$$

Мы видим, что это парабола в виде $y=a(x-h{)}^2+k$, где:

$$a=0,5,h=2,k=0$$

Вершина параболы находится в точке $(h,k)$. Таким образом, координаты вершины:

$$(h,k)=(2,0)$$

Ось симметрии параболы:

Ось симметрии проходит через абсциссу вершины. Поскольку $h=2$, ось симметрии:

$$x=2$$

Промежутки монотонности:

Коэффициент $a=0,5$ положительный, значит парабола открывается вверх, и функция будет возрастать после вершины и убывать до вершины.

Таким образом:

• Функция возрастает на промежутке $(2;+\mathrm{\infty })$.
• Функция убывает на промежутке $(-\mathrm{\infty };2)$.

Наименьшее значение:

Парабола открывается вверх, и наименьшее значение функции будет достигаться в вершине. Таким образом:

• Наименьшее значение функции $y=0$.

Множество значений:

Парабола открывается вверх, и значения функции будут начинаться с наименьшего значения и расти до бесконечности:

$$E(y)=(0;+\mathrm{\infty })$$

в) $y=-(x-1{)}^2+4=-x^2+2x+3$

Координаты вершины параболы:

Преобразуем уравнение в стандартный вид:

$$y=-(x-1{)}^2+4=-x^2+2x+3$$

Это парабола вида $y=a(x-h{)}^2+k$, где:

$$a=-1,h=1,k=4$$

Вершина параболы находится в точке $(h,k)$, то есть:

$$(h,k)=(1,4)$$

Ось симметрии параболы:

Ось симметрии проходит через абсциссу вершины. Поскольку $h=1$, ось симметрии:

$$x=1$$

Промежутки монотонности:

Коэффициент $a=-1$ отрицательный, значит парабола открывается вниз, и функция будет возрастать до вершины и убывать после вершины.

Таким образом:

• Функция возрастает на промежутке $(-\mathrm{\infty };1)$.
• Функция убывает на промежутке $(1;+\mathrm{\infty })$.

Наибольшее значение:

Парабола открывается вниз, и наибольшее значение функции будет достигаться в вершине:

• Наибольшее значение функции $y=4$.

Множество значений:

Парабола открывается вниз, и значения функции будут ограничены сверху и стремиться к минус бесконечности:

$$E(y)=(-\mathrm{\infty };4)$$

г) $y=2x^2-4x+5$

Координаты вершины параболы:

Уравнение параболы имеет вид $y=a{x}^2+bx+c$, где:

$$a=2,b=-4,c=5$$

Формула для нахождения абсциссы вершины параболы:

$$x_{\text{верш}}=-\frac{b}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_{\text{верш}}=-\frac{-4}{2\cdot 2}=1$$

Таким образом, абсцисса вершины равна $x=1$.

Теперь находим ординату вершины. Для этого подставим $x=1$ в уравнение параболы:

$$y=2\cdot 1^2-4\cdot 1+5=2-4+5=3$$

Ордината вершины $y=3$.

Итак, координаты вершины параболы: $(1,3)$.

Ось симметрии параболы:

Ось симметрии проходит через абсциссу вершины. Поскольку $x_{\text{верш}}=1$, ось симметрии:

$$x=1$$

Промежутки монотонности:

Коэффициент $a=2$ положительный, значит парабола открывается вверх, и функция будет возрастать после вершины и убывать до вершины.

Таким образом:

• Функция возрастает на промежутке $(1;+\mathrm{\infty })$.
• Функция убывает на промежутке $(-\mathrm{\infty };1)$.

Наименьшее значение:

Парабола открывается вверх, и наименьшее значение функции будет достигаться в вершине:

• Наименьшее значение функции $y=3$.

Множество значений:

Парабола открывается вверх, и значения функции будут начинаться с наименьшего значения и расти до бесконечности:

$$E(y)=(3;+\mathrm{\infty })$$