ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 96 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на указанном промежутке:

а) $y=-\frac{6}{x}$ на луче $[1;+\mathrm{\infty })$;

б) $y=\frac{4}{x+1}$ на отрезке $[0;3]$;

в) $y=\frac{8}{x}-2$ на отрезке $[-4;-1]$;

г) $y=-\frac{4}{x-3}+1$ на полуинтервале $(3;7]$

Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

а) $y=-\frac{6}{x}$ на луче $[1;+\mathrm{\infty })$;

Уравнения асимптот гиперболы:

$$x=0\text{и}y=0;$$

Значения функции:

$$y(1)=-\frac{6}{1}=-6;$$

$a=-1<0$ — функция возрастает;

Ответ: $y_{\min }=-6$; $y_{\max }$ — нет.

б) $y=\frac{4}{x+1}$ на отрезке $[0;3]$;

Уравнения асимптот гиперболы:

$$x=-1\text{и}y=0;$$

Значения функции:

$$y(0)=\frac{4}{0+1}=\frac{4}{1}=4;$$$$y(3)=\frac{4}{3+1}=\frac{4}{4}=1;$$

Ответ: $y_{\min }=1$; $y_{\max }=4$.

в) $y=\frac{8}{x}-2$ на отрезке $[-4;-1]$;

Уравнения асимптот гиперболы:

$$x=0\text{и}y=-2;$$

Значения функции:

$$y(-4)=\frac{8}{-4}-2=-2-2=-4;$$$$y(-1)=\frac{8}{-1}-2=-8-2=-10;$$

Ответ: $y_{\min }=-10$; $y_{\max }=-4$.

г) $y=-\frac{4}{x-3}+1$ на полуинтервале $(3;7]$;

Уравнения асимптот гиперболы:

$$x=3\text{и}y=1;$$

Значения функции:

$$y(7)=-\frac{4}{7-3}+1=-\frac{4}{4}+1=-1+1=0;$$

$a=-1<0$ — функция возрастает;

Ответ: $y_{\min }$ — нет; $y_{\max }=0$.

а) $y=-\frac{6}{x}$ на луче $[1;+\mathrm{\infty })$

1) Уравнения асимптот гиперболы:

Функция $y=-\frac{6}{x}$ является гиперболой. Для гиперболы асимптоты — это прямые, к которым график функции стремится при $x\to \pm \mathrm{\infty }$. Мы видим, что:

• Вертикальная асимптота — это линия $x=0$, так как $\frac{1}{x}$ стремится к бесконечности при $x\to 0$.
• Горизонтальная асимптота — это линия $y=0$, так как $\frac{1}{x}\to 0$ при $x\to \pm \mathrm{\infty }$.

Ответ: Уравнения асимптот гиперболы:

$$x=0\text{и}y=0.$$

2) Значения функции:

Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на интервале $[1;+\mathrm{\infty })$, нужно оценить поведение функции на этом интервале. Для этого подставим $x=1$ и посмотрим на пределы функции на бесконечности.

• Значение функции в точке $x=1$:

Подставим $x=1$ в функцию $y=-\frac{6}{x}$:

$$y(1)=-\frac{6}{1}=-6.$$

• Предел функции при $x\to +\mathrm{\infty }$:

Когда $x\to +\mathrm{\infty }$, дробная часть $\frac{6}{x}$ стремится к нулю. Следовательно, $y$ стремится к 0.

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }-\frac{6}{x}=0.$$

Поскольку функция убывает (слева направо), минимальное значение функции на интервале $[1;+\mathrm{\infty })$ достигается при $x=1$, а максимальное значение стремится к 0, но никогда не достигает его.

Ответ: $y_{\min }=-6$; $y_{\max }$ — нет.

б) $y=\frac{4}{x+1}$ на отрезке $[0;3]$

1) Уравнения асимптот гиперболы:

Функция $y=\frac{4}{x+1}$ представляет собой гиперболу. Для гиперболы асимптоты — это прямые, к которым график функции стремится при $x\to \pm \mathrm{\infty }$. Мы видим, что:

• Вертикальная асимптота — это линия $x=-1$, так как $\frac{1}{x+1}$ стремится к бесконечности при $x\to -1$.
• Горизонтальная асимптота — это линия $y=0$, так как $\frac{4}{x+1}\to 0$ при $x\to \pm \mathrm{\infty }$.

Ответ: Уравнения асимптот гиперболы:

$$x=-1\text{и}y=0.$$

2) Значения функции:

Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке $[0;3]$, нужно вычислить значения функции в концах интервала и исследовать поведение функции на этом интервале.

• Значение функции в точке $x=0$:

Подставим $x=0$ в функцию $y=\frac{4}{x+1}$:

$$y(0)=\frac{4}{0+1}=\frac{4}{1}=4.$$

• Значение функции в точке $x=3$:

Подставим $x=3$ в функцию $y=\frac{4}{x+1}$:

$$y(3)=\frac{4}{3+1}=\frac{4}{4}=1.$$

• Промежуток монотонности:

Функция $y=\frac{4}{x+1}$ является убывающей на отрезке $[0;3]$, так как производная функции $\frac{d}{dx}\left(\frac{4}{x+1}\right)=-\frac{4}{(x+1{)}^2}$ всегда отрицательна на этом интервале. Следовательно, наибольшее значение функции будет на левом конце интервала, а наименьшее — на правом.

Ответ: $y_{\min }=1$; $y_{\max }=4$.

в) $y=\frac{8}{x}-2$ на отрезке $[-4;-1]$

1) Уравнения асимптот гиперболы:

Функция $y=\frac{8}{x}-2$ является гиперболой. Для гиперболы асимптоты — это прямые, к которым график функции стремится при $x\to \pm \mathrm{\infty }$. Мы видим, что:

• Вертикальная асимптота — это линия $x=0$, так как $\frac{8}{x}$ стремится к бесконечности при $x\to 0$.
• Горизонтальная асимптота — это линия $y=-2$, так как $\frac{8}{x}\to 0$ при $x\to \pm \mathrm{\infty }$.

Ответ: Уравнения асимптот гиперболы:

$$x=0\text{и}y=-2.$$

2) Значения функции:

Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке $[-4;-1]$, нужно вычислить значения функции в концах интервала.

• Значение функции в точке $x=-4$:

Подставим $x=-4$ в функцию $y=\frac{8}{x}-2$:

$$y(-4)=\frac{8}{-4}-2=-2-2=-4.$$

• Значение функции в точке $x=-1$:

Подставим $x=-1$ в функцию $y=\frac{8}{x}-2$:

$$y(-1)=\frac{8}{-1}-2=-8-2=-10.$$

• Промежуток монотонности:

Функция $y=\frac{8}{x}-2$ убывает на интервале $[-4;-1]$, так как производная функции $\frac{d}{dx}(\frac{8}{x}-2)=-\frac{8}{x^2}$ всегда отрицательна на этом интервале. Следовательно, наименьшее значение функции будет на правом конце интервала, а наибольшее — на левом.

Ответ: $y_{\min }=-10$; $y_{\max }=-4$.

г) $y=-\frac{4}{x-3}+1$ на полуинтервале $(3;7]$

1) Уравнения асимптот гиперболы:

Функция $y=-\frac{4}{x-3}+1$ является гиперболой. Для гиперболы асимптоты — это прямые, к которым график функции стремится при $x\to \pm \mathrm{\infty }$. Мы видим, что:

• Вертикальная асимптота — это линия $x=3$, так как $\frac{4}{x-3}$ стремится к бесконечности при $x\to 3$.
• Горизонтальная асимптота — это линия $y=1$, так как $\frac{4}{x-3}\to 0$ при $x\to \pm \mathrm{\infty }$.

Ответ: Уравнения асимптот гиперболы:

$$x=3\text{и}y=1.$$

2) Значения функции:

Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на полуинтервале $(3;7]$, нужно вычислить значения функции в правой точке интервала.

• Значение функции в точке $x=7$:

Подставим $x=7$ в функцию $y=-\frac{4}{x-3}+1$:

$$y(7)=-\frac{4}{7-3}+1=-\frac{4}{4}+1=-1+1=0.$$

• Промежуток монотонности:

Функция $y=-\frac{4}{x-3}+1$ возрастает на интервале $(3;7]$, так как производная функции $\frac{d}{dx}(-\frac{4}{x-3}+1)=\frac{4}{(x-3{)}^2}$ положительна на этом интервале. Следовательно, наибольшее значение функции будет на правом конце интервала, а наименьшее — в бесконечности (функция не имеет минимального значения на полуинтервале).

Ответ: $y_{\min }$ — нет; $y_{\max }=0$.

Итоговый ответ:

а) $y_{\min }=-6$; $y_{\max }$ — нет.

б) $y_{\min }=1$; $y_{\max }=4$.

в) $y_{\min }=-10$; $y_{\max }=-4$.

г) $y_{\min }$ — нет; $y_{\max }=0$.